Symboles de Manin et valeurs de fonctions L

Loïc Merel

Institut de Mathématiques de Jussieu, Université Paris-Diderot, UFR de Mathématiques, case 7012, 2 place Jussieu, 75251 Paris cedex 05, France

merel@math.jussieu.fr

À Yuri Ivanovich Manin à l’occasion de son soixante-dixième anniversaire

1 Introduction

1.1 Les symboles de Manin

Soit N un entier > 0. Soit f une forme modulaire parabolique de poids k = 2 pour le groupe de congruence Γ_{1}(N). Dans [10], Y. Manin lui associe une fonction ξ_{f} : (Z/NZ)^{2} → C dont les valeurs sont les symboles de Manin de f. Cette fonction est définie ainsi.

Soit (u, v) ∈ (Z/NZ)^{2}. On pose ξ_{f}(u, v) = 0 si (u, v) n’est pas d’ordre N dans le groupe additif (Z/NZ)^{2}. Sinon on considère une matrice g =

( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(Z) telle que (c, d) ∈ (u, v) et on pose

ξ_{f}(u, v) = −i ∫_{g0}^{g∞} f(z)dz,

où l’intégrale est prise le long d’un chemin continu du demi-plan de Poincaré. L’application f ↦ ξ_{f} est injective. On peut même être plus précis. Si on pose ξ_{f}^{+}(u, v) = (ξ_{f}(u, v) + ξ_{f}(−u, v))/2 et ξ_{f}^{−}(u, v) = (ξ_{f}(u, v) − ξ_{f}(−u, v))/2, les applications f ↦ ξ_{f}^{+} et f ↦ ξ_{f}^{−} sont injectives [10].

Rappelons en quoi cette construction est utile à l’étude des symboles modulaires : elle a notamment permis a Manin d’établir sa loi de réciprocité [10, 11, 14] et est souvent le fondement des calculs sur ordinateur concernant les formes modulaires (voir [5] et les tables de W. Stein).

Par ailleurs, les expressions (si utiles en vue de construire des fonctions L p-adique, d’établir des théorèmes de non-annulation...) en termes de symboles modulaires des valeurs en s = 1 des fonctions L des tordues de f ne font pas intervenir les symboles de Manin. C’est à ce lien manquant que fait référence notre titre. Notre objectif est, en réalité, inverse de ce qui est obtenu par la démarche classique : lorsque f est une forme primitive (i.e. propre pour l’algèbre de Hecke, nouvelle et normalisée), nous exprimons les symboles de Manin de f purement en termes des fonctions L des tordues f. Nous verrons même qu’il suffit de tordre f par des caractères de niveaux divisant N.

1.2 Analyse de Fourier multiplicative

Supposons désormais f primitive de niveau N. Nous calculons la transformée de Fourier multiplicative de ξ_{f} en le sens suivant.

Pour tout entier m ≥ 1, on note Σ_{m} le support de m dans l’ensemble des nombres premiers. Supposons (u, v) ∈ (Z/NZ)^{2} d’ordre N. Notons N′ l’ordre de uv dans Z/NZ. Soit S un sous-ensemble de Σ_{N} contenant le support de u mais disjoint du support de v. Posons S̄ = Σ_{N} − S. On identifie (Z/NZ) à ∪_{d|N}(Z/dZ)^{∗} (par w ↦ wN′_{w}/N (mod N′_{w}), où N′_{w} est l’ordre de w dans (Z/NZ)). Les images de u et v par cette identification sont uN′_{S}/N_{S} et vN ′ ; S̄/NS̄ respectivement ; les entiers N_{S}/N′_{S} et NS̄/N ′ ; S̄ ne dépendent pas du choix de S. Toute fonction ξ : (Z/NZ)^{2} → C s’écrit sous la forme

ξ(u, v) = ∑_{α,β} c_{α,β}α(N ′ ; S̄v/NS̄)β(N′_{S}u/N_{S}),

où c_{α,β} dépend seulement de ξ, α, β et N′ et où α et β parcourent les caractères de Dirichlet primitifs de niveaux divisant N′. Le théorème 1 donne une forme explicite aux coefficients c_{α,β} lorsque ξ = ξ_{f}.

Soit χ un caractère de Dirichlet de conducteur à support dans Σ_{N}. Notons f ⊗ χ la forme primitive dont le p-ième coefficient de Fourier est a_{p}(f)χ(p) (p nombre premier ne divisant pas N). Notons N_{χ} le niveau de f ⊗ χ. Notons L(f ⊗ χ, s) la fonction L de f ⊗ χ. Elle admet un développement en série de Dirichlet ∑_{n=1}^{∞} a_{n}(f ⊗ χ)/n^{s} et en produit eulerien ∏_{p} L_{p}(f ⊗ χ, p^{−s}), où L_{p}(f ⊗ χ, X) = 1/(1 − a_{p}(f ⊗ χ)X + a_{p,p}(f ⊗ χ)p^{k−1}X^{2}) (p nombre premier) ; on complète ce produit pour former

Λ(f ⊗ χ, s) = (2π)^{−s}Γ (s)N_{χ}^{s/2}L(f ⊗ χ, s).

On pose a_{p} = a_{p}(f) et a_{p,p} = a_{p,p}(f). Notons ψ le caractère de Dirichlet vérifiant ψ(p) = a_{p,p}(f) (p nombre premier ne divisant pas N). On pose f̄ = f ⊗ ψ̄, et on a a_{n}(f̄) = ā_{n}(f) (n entier ≥ 1).

Lorsque T^{+} et T^{−} sont des ensembles finis de nombres premiers, on prive Λ(f ⊗ χ, s) de certains facteurs d’Euler en posant

Λ^{[T^{+},T^{−}]}(f ⊗ χ, s) = \frac{Λ(f ⊗ χ, s)}{∏_{p∈T^{+}} L_{p}(f ⊗ χ, p^{−s}) ∏_{p∈T^{−}} L_{p}(f̄⊗ χ̄, p^{s−k})}.

Lorsque R^{+} et R^{−} sont des sous-ensembles de T^{+} et T^{−} respectivement, on pose

Λ^{[ \frac{T^{+}}{R^{+}} , \frac{T^{−}}{R^{−}}]}(f ⊗ χ, s) = \frac{Λ^{[T^{+}−R^{+},T^{−}−R^{−}]}(f ⊗ χ, s)}{∏_{p∈R^{+}} L_{p}(f ⊗ χ, p^{−s−1} ∏_{p∈R^{−}} L_{p}(f̄⊗ χ̄, p^{s−k+1})}.

Nous dirons que les nombres premiers p qui vérifient v_{p}(N) = 1 (où v_{p} est la valuation p-adique) et ψ non ramifié en p sont spéciaux pour f (ils correspondent aux représentations spéciales de GL_{2}(Q_{p})). Notons Σ_{f} l’ensemble des nombres premiers spéciaux pour f. Le cas qui nous intéressera est le cas où R^{+} et R^{−} sont composés de nombres premiers spéciaux pour f.

Pour S sous-ensemble de Σ_{N} et M nombre entier ≥ 1 de support Σ_{M} ⊂ Σ_{N}, posons M = M_{S}MS̄ où M_{S} et MS̄ sont à supports dans S et S̄ respectivement. On pose S(M) = Σ_{M} ∩ S et S̄(M) = Σ_{M} ∩ S̄. On note w_{S}(f̄⊗ χ) la pseudo-valeur propre de f̄⊗ χ pour l’opérateur d’Atkin-Lehner associé à S (voir [1] ou la mise au point de la section 2.2). On note de plus w(f ⊗ χ) = w_{Σ_{N}} (f ⊗ χ) ; on a

Λ^{[T^{+},T^{−}]}(f ⊗ χ, s) = i^{k}w(f ⊗ χ)Λ^{[T^{−},T^{+}]}(f̄⊗ χ̄, k − s).

Pour α caractère de niveau à support dans Σ_{N}, on convient de décomposer α sous la forme α = α_{S}αS̄, où α_{S} et αS̄ sont des caractères de Dirichlet de niveaux à supports dans S et S̄ respectivement.

Pour p ∈ Σ_{N} et χ caractère de Dirichlet, notons m_{χ} le conducteur du caractère primitif associé à χ divisant N et Q_{p,f,χ}(X) la fraction rationnelle suivante :

Q_{p,f,χ}(X) = (ā_{p}p^{1−k/2})^{v_{p}(N′/m_{χ})}

sauf si a_{p} = 0, v_{p}(N′) = 1 et v_{p}(m_{χ}) = 0, auquel cas on a

Q_{p,f,χ}(X) = −χ̄(p)X^{−1}.

Cet objet désagréable dépend de p, a_{p}, χ(p), v_{p}(m_{χ}), k et v_{p}(N′) ; c’est donc un objet local. De plus on note τ′(χ) la somme de Gauss associée au caractère primitif provenant de χ. Notons ϕ la fonction indicatrice d’Euler.

Théorème 1. On a

ξ_{f}(u, v) = \frac{w(f)}{ϕ(N′)} ∑_{χ} χS̄(m_{χ,S})(ψ̄_{S}χ̄_{S})(m_{ψ̄χ̄,S̄})χ_{S}(−1)\frac{τ′(χ_{S})τ′(ψ̄S̄χ̄S̄)}{\sqrt{N_{χ}}}

( ∏_{p∈S(N′)} Q_{p,f,χ̄}(1))( ∏_{p∈S̄(N′)} Q_{p,f,χψ}(1))(ψ̄S̄χ̄2 ; S̄)(N_{χ,S})\overline{w_{S}(f ⊗ χ)}

Λ^{[ \frac{Σ_{N′} −S(mχ)}{(S(N′)−S(mχ))∩Σ_{f}} , \frac{Σ_{N′} −S̄(mψ̄χ̄)}{(S̄(N′)−S̄(mψ̄χ̄))∩Σ_{f}} ]}(f ⊗ χ, 1)(ψ̄χ̄)(\frac{N ′ ; S̄v}{NS̄})χ(\frac{N′_{S}u}{N_{S}}),

où χ parcourt les caractères de Dirichlet primitifs tels que m_{χ,S}m_{ψχ,S̄}|N′. La formule analogue pour ξ_{f}^{+} (resp. ξ_{f}^{−}) est obtenue en faisant disparaître les termes pour χ impair (resp. pair).

1.3 Interprétation arithmétique

La formule du théorème 1 est si peu aisément manipulable, si inapte à s’insérer dans le langage naturel, que le lecteur séduit par le point de vue exposé par Manin dans son essai “Mathematics as Metaphor” [12] pourrait penser qu’elle présente bien peu d’intérêt. Nous espérons que les conséquences qui suivent peuvent effacer cette impression.

Il procède d’un examen superficiel du théorème 1 et de l’injectivité des applications f ↦ ξ_{f}^{+} et f ↦ ξ_{f}^{−} l’énoncé suivant.

Corollaire 2. La forme modulaire f primitive de poids 2 pour Γ_{1}(N) est caractérisée par les données suivantes, où on fait parcourir à χ les caractères de Dirichlet pairs (resp. impairs) de conducteurs divisant N :

(i) le caractère de f, (ii) les niveaux des formes primitives f ⊗ χ, (iii) les pseudo-valeurs propres w_{S}(f ⊗ χ), (iv) les facteurs d’Euler L_{p}(f ⊗ χ, p^{−s}), pour p ∈ Σ_{N} et

(v) les nombres complexes Λ(f ⊗ χ, 1).

Nous sommes donc tentés de voir la fonction ξ_{f} comme une façon commode de comprimer et de manipuler les données (i), (ii), (iii), (iv) et (v).

On pourrait rendre l’énoncé et la démonstration du théorème 1 plus agréables en employant le langage adélique. Les données (i), (ii) (iii) et (iv) sont équivalentes à celles issues des facteurs d’Euler et des facteurs ϵ associés aux représentations irréductibles de GL_{2}(Q_{p}) provenant de f après torsion par des caractères de Q_{p}^{∗} de conducteur ≤ v_{p}(N), pour p ∈ Σ_{N}.

On est tenté de rapprocher le corollaire 2 du théorème de Hecke-Weil [17] sur la caractérisation, par les prolongements analytiques et les équations fonctionnelles, des séries de Dirichlet qui proviennent des formes modulaires, voir la section 3.3. Nous avons à l’esprit tout spécialement la version précise due à W. C. W. Li [8] qui, comme le corollaire 2, ne fait intervenir que les tordues par les caractères de conducteur divisant le niveau N. On précisera dans la section 3.2, comment, à partir de ξ_{f}, on peut retrouver les invariants (i), (ii), (iii), (iv) et (v) notamment lorsque f est de niveau minimal parmi ses tordues par des caractères de Dirichlet, auquel cas nous essaierons d’indiquer en quoi l’information contenue dans ξ_{f} est optimale.

Notre travail ne semble pas présenter de lien avec le théorème de Luo et Ramakrishnan [9] qui caractérise f par les nombres complexes L(f ⊗ χ, 1) où χ parcourt une infinité de caractères quadratiques.

Il résulte du théorème 1 un énoncé de théorie analytique des nombres.

Corollaire 3. Il existe des caractères de Dirichlet χ^{+} et χ^{−}, pair et impair respectivement, de conducteurs divisant N et tels que L(f ⊗ χ^{+}, 1) ≠ 0 et L(f ⊗ χ^{−}, 1) ≠ 0.

En raison de la modularité des courbes elliptiques [3] et des résultats obtenus par Kato [6] sur la conjecture de Birch et Swinnerton-Dyer et ses variantes, on obtient des conséquences diophantiennes dont voici l’exemple type.

Corollaire 4. Soit E une courbe elliptique sur Q de conducteur N. Soit Q(μ_{N}) une extension cyclotomique de Q engendrée par une racine primitive N-ième de l’unité. Notons Q(μ_{N})^{+} le plus grand sous-corps totalement réel de Q(μ_{N}). La représentation régulière du groupe de Galois Gal(Q(μ_{N})^{+}/Q) n’intervient pas dans le Gal(Q(μ_{N})^{+}/Q)-module E(Q(μ_{N})^{+}).

Le lecteur pourra trouver des généralisations du corollaire 4 pour les groupes de Selmer p-adiques des motifs associés aux formes modulaires, en s’appuyant sur [6]. Nous nous demandons s’il existe une direction directe (i.e. ne faisant pas appel aux formes modulaires) du corollaire 4.

1.4 Perspectives

Comme ξ_{f} détermine f, on peut, en principe, exprimer tout invariant associé à f en terme de ξ_{f}, puis en combinant avec le théorème 1, en terme des données (i), (ii), (iii), (iv) et (v). Ce principe appliqués aux valeurs de fonctions L construites à partir de f (via des puissances tensorielles, la torsion par des caractères etc) produirait alors des identités numériques entre valeurs de fonctions L. Nous donnons un exemple de telles identités dans la section 4. Dans sa thèse, F. Brunault exprime L(f, 2) en termes des ξ_{f} [4], qu’on peut combiner avec le théorème 1. Y a-t-il une théorie systématique ?

2 Formulaire préliminaire

Cette section consiste en des mises au points concernant des questions essentiellement déjà connues. Elles concernent en 2.1 la suppression des facteurs d’Euler des fonctions L, en 2.2 les opérateurs d’Atkin-Lehner, en 2.3 et 2.4 la torsion des formes modulaires par des caractères non nécessairement primitifs, en 2.5 la translation des formes modulaires par des nombres rationnels. Dans les sections 2.6 à 2.8, qui ne seront pas utiles avant la section 3.2, nous rappelons ce qui est connu sur le comportement aux mauvaises places des formes modulaires tordues. Pour tout cela nous avons trouvé une aide précieuse dans un article d’Atkin et Li [2].

2.1 Suppression des facteurs d’Euler

On note GL_{2}(Q)^{+} le sous-groupe de GL_{2}(Q) formé par les matrices de

déterminant > 0. On pose, pour ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(Q)^{+}, et F forme primitive

de poids k et de niveau M :

F_{|( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )}(z) = \frac{(AD − BC)^{k/2}}{(Cz + D)^{k}} F (\frac{Az + B}{Cz + D}).

Cette opération s’étend C-linéairement à C[GL_{2}(Q)^{+}] ; elle se factorise par C[PGL_{2}(Q)^{+}]. Gardons à l’esprit la formule suivante

(2π)^{−s}Γ (s)L(F, s) = ∫_{0}^{∞} F (iy)y^{s} \frac{d y}{y} .

On a, pour h = ( \begin{matrix}A & 0 \\ 0 & D \end{matrix} ) ∈ GL_{2}(Q)^{+},

∫_{0}^{∞} F_{|h}(iy)y^{s} \frac{d y}{y} = (\frac{A}{D})^{k/2−s} ∫_{0}^{∞} F (iy)y^{s} \frac{d y}{y} = (\frac{A}{D})^{k/2−s}(2π)^{−s}Γ (s)L(F, s).

Soient T^{+} et T^{−} deux ensembles de nombres premiers. On pose

F^{[T^{+},T^{−}]} = F_{| ∏_{p∈T^{+}} L_{p}(F,p^{−k/2}( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))^{−1} ∏_{p∈T^{−}} L_{p}(F̄,p^{−k/2}( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} ))^{−1}},

de telle sorte que

∫_{0}^{∞} F^{[T^{+},T^{−}]}(iy)y^{s} \frac{d y}{y} = \frac{(2π)^{−s}Γ (s)L(F, s)}{∏_{p∈T^{+}} L_{p}(F, p^{−s}) ∏_{p∈T^{−}} L_{p}(F̄, p^{s−k})}
= M^{−s/2}Λ^{[T^{+},T^{−}]}(F, s).

On pose, lorsque R^{+} et R^{−} sont des sous-ensembles de T^{+} et T^{−} respectivement,

F^{[ \frac{T^{+}}{R^{+}} , \frac{T^{−}}{R^{−}}]} = F_{| ∏_{p∈R^{+}} L_{p}(F,p^{1−k/2}( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))^{−1} ∏_{p∈R^{−}} L_{p}(F̄,p^{1−k/2}( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} ))^{−1}}^{[T^{+}−R^{+},T^{−}−R^{−}]}

si bien que

∫_{0}^{∞} F^{[ \frac{T^{+}}{R^{+}} , \frac{T^{−}}{R^{−}}]}(iy)y^{s} \frac{d y}{y} = M^{−s/2}Λ^{[ \frac{T^{+}}{R^{+}} , \frac{T^{−}}{R^{−}}]}(F, s).

2.2 Opérateurs d’Atkin-Lehner

Mettons au point les normalisations pour les opérateurs d’Atkin-Lehner. Notons ψ′ le caractère de nebentypus de F. Notons M′ le conducteur de ψ′. Supposons que M soit à support dans Σ_{N}. Soit S un sous-ensemble de Σ_{M}.

Notons S̄ = Σ_{M} −S. Posons M = M_{S}MS̄ et M′ = M′_{S}M ′ ; S̄ et ψ′ = ψ′_{S}ψ′ ; S̄. Soit

( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ M_{2}(Z) telle que M_{S}|A, M_{S}|D, M|C, MS̄|B, AD − BC = M_{S},

A ≡ M_{S} (mod M′) et B ≡ 1 (mod M′_{S}) ; on pose alors, comme Atkin et Li dans [2], W_{S}F = F_{|( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )} et il existe un nombre complexe w_{S}(F) de module 1 tel que W_{S}F = w_{S}(F)F ⊗ ψ̄′_{S}. Lorsque ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ M_{2}(Z) avec

M_{S}|A, M_{S}|D, M|C, MS̄|B et AD − BC = M_{S}, on a de plus [2]

F_{|( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )} = ψ′_{S}(B)ψ′ ; S̄(A/M_{S})W_{S}F.

Lorsque M|NN′, M′|N et lorsque ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ M_{2}(Z) vérifie les conditions

N_{S}N′_{S}|A, N_{S}N′_{S}|D, NN′|C, NS̄N ′ ; S̄|B et AD − BC = N_{S}N′_{S}, on a

F_{|( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )} = w_{S}(F)ψ̄′_{S}(B)ψ̄′ ; S̄(A/(N_{S}N′_{S}))F_{|( \begin{matrix}N_{S}N′_{S}/M_{S} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}.

Lorsque S est égal au support de M, on pose w_{S}(F) = w(F).

On a de plus [2] proposition 1.1,

w_{S}(F)w_{S}(F ⊗ ψ̄′_{S}) = ψ′_{S}(−1)ψ̄′ ; S̄(M_{S}).  (1)

Mentionnons enfin la formule, pour S_{1} et S_{2} deux sous-ensembles disjoints de Σ_{M},

W_{S_{2}}(W_{S_{1}}F) = ψ′_{S_{2}}(M_{S_{1}})W_{S_{1}∪S_{2}}F.

Cela permet de ramener le calcul de w_{S}(F) aux cas où S est un singleton.

Ajoutons la formule suivante. Soit p un nombre premier tel que a_{p}(F) ≠ 0 (c’est le cas si et seulement si v_{p}(M) = v_{p}(m_{ψ}) ou si v_{p}(M) ≤ 1). On a

w_{\{p\}}(F) = \frac{p^{v_{p}(N)(k/2−1)}τ(ψ′_{S})}{a_{p}(F)^{v_{p}(N)}}

où τ(ψ′_{S}) est la somme de Gauss du caractère (non nécessairement primitif) ψ′_{S}. Si p est spécial pour F, on a a_{p}(F)ā_{p}(F) = p^{k−2}.

2.3 Torsion des formes modulaires par des caractères quelconques

Revenons maintenant sur la torsion des formes modulaires par des caractères. Soit α un caractère de Dirichlet de niveau m, de caractère de Dirichlet primitif associé ω, lui-même de conducteur m_{ω}. Notons f̄_{α} la forme modulaire (non nécessairement primitive) donnée par le développement

f̄_{α}(z) = ∑_{n=1}^{∞} ā_{n}α(n)q^{n}.

Elle est liée à la forme primitive f̄⊗ ω par la formule

f̄_{α} = (f̄⊗ ω)^{[Σ_{m},∅]}.

Posons de plus

S_{α}f̄ = ∑_{amodm} ᾱ(a)f̄_{|( \begin{matrix}1 & a/m \\ 0 & 1 \end{matrix} )}.

On a, lorsque α est primitif (et donc égal à ω),

S_{ω}f̄ = τ(ω̄)f̄_{ω}.

Soit p un nombre premier divisant m/m_{ω}. Notons β le caractère de Dirichlet de niveau m/p qui coïncide avec α sur les entiers premiers à p. On a

S_{α}f̄ = ā_{p}p^{1−k/2}(S_{β}f̄)_{|( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )} − β̄(p)S_{β}f̄.

Posons, dans C[X],

R_{p}(X) = (ā_{p}p^{1−k/2}X)^{v_{p}(m/m_{ω})−1}(ā_{p}p^{1−k/2}X − ω̄(p)).  (2)

Par une application répétée de la formule 2, on obtient

S_{α}f̄ = τ(ω̄)(f̄_{ω})_{| ∏_{p} R_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))},

où le produit porte sur les nombres premiers divisant m/m_{ω}.

Il est nécessaire maintenant de distinguer plusieurs cas. Si v_{p}(m/m_{ω}) = 0, on a R_{p} = 1. Si v_{p}(m/m_{ω}) = 1 et a_{p} = 0, on a R_{p} = 0. Si v_{p}(m/m_{ω}) > 1 et a_{p} = 0, on a R_{p} = −ω̄(p).

Or on a, lorsque a_{p} ≠ 0 et p|N non spécial pour f̄, a_{p}ā_{p} = p^{k−1} et donc, lorsque de plus p|m on a, dans C[PGL_{2}(Q)^{+}],

R_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) = (ā_{p}p^{1−k/2} ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))^{v_{p}(m/m_{ω})}(1 − ω̄(p)a_{p}p^{−k/2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} )).

Cette dernière formule est encore valable lorsque a_{p} = 0 et v_{p}(m) > 1.

Lorsque p|(m/m_{ω}) et p est spécial pour f̄, on a a_{p}ā_{p} = p^{k−2} (et donc a_{p} ≠ 0). On a donc

R_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) = (ā_{p}p^{1−k/2} ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))^{v_{p}(m/m_{ω})}(1 − ω̄(p)a_{p}p^{1−k/2} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} )).

Lorsque a_{p} = 0, v_{p}(m) = 1 et v_{p}(m_{ω}) = 0, on a

R_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) = −ω̄(p).

On a donc

S_{α}f̄ = τ(ω̄)(f̄⊗ ω)_{| ∏_{p} P_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))}^{[Σ_{m}, \frac{Σ_{m/mω}}{Σ_{m/mω} ∩Σ_{f}} ]},  (3)

où le monôme P_{p}(X) vaut (ā_{p}p^{1−k/2}X)^{v_{p}(m/m_{ω})} sauf si a_{p} = 0, v_{p}(m) = 1 et

v_{p}(m_{χ}) = 0, auquel cas on a P_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) = −ω̄(p).

2.4 La torsion des formes modulaires par des caractères de niveaux divisant N

Reprenons la situation laissée en 2.3 en nous plaçant dans le cas où N′ = m est un diviseur de N.

Lemme 5. Soit p un nombre premier tel que p|m_{ω} et p|(N′/m_{ω}). On a

(f̄⊗ ω)_{|P_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))}^{[∅,p]} = (f̄⊗ ω)_{|P_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))}.

Démonstration Il suffit de montrer que P_{p} = 0 ou que a_{p}(f̄ ⊗ ω) = 0 = a_{p,p}(f̄⊗ω). Supposons P_{p} ≠ 0. Si a_{p} = 0, on a v_{p}(m_{ω}) = 0 et v_{p}(N′) = 1, ce qui entraîne a_{p}(f̄⊗ω) = 0 = a_{p,p}(f̄⊗ω). Restreignons maintenant notre attention au cas où a_{p} ≠ 0. Rappelons d’abord que cela entraîne que le conducteur de ψ a pour valuation p-adique v_{p}(N) (ce qui entraîne a_{p,p}(f̄ ⊗ ω) = 0) ou que v_{p}(N) = 1. Les hypothèses excluent le cas v_{p}(N) = 1. On a de plus a_{p}(f̄⊗ ω) ≠ 0 si et seulement si ω est de conducteur premier à p (impossible par hypothèse) ou ψ̄/ω est de conducteur premier à p; ce dernier cas est impossible, en effet on a p|(N′/m_{ω}), et donc p|(N/m_{ω}) et les valuations padiques des conducteurs de ψ et ψ̄/ω sont égales et donc non nulles. On a bien a_{p}(f̄⊗ ω) = 0.

On a donc, par applications répétées du lemme 5 à la formule 3,

S_{α}f̄ = τ(ω̄)(f̄⊗ ω)_{| ∏_{p} P_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))}^{[Σ_{N′} , \frac{Σ_{N′} −Σm_{ω}}{(Σ_{N′} −Σ_{mω)}∩Σ_{f}} ]},  (4)

2.5 La torsion des formes modulaires par des caractères additifs

Soit n ∈ Z. Récrivons la forme modulaire f̄_{|( \begin{matrix}1 & n/N \\ 0 & 1 \end{matrix} )} comme combinai-

son linéaire de F_{( \begin{matrix}d & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )} où d parcourt les diviseurs de N et où F parcourt

les formes primitives de niveau divisant N^{2}/d. Nous ne savons pas si un pareil calcul a déjà été rédigé. Notons n′ le nombre entier et N′ le diviseur > 0 de N qui vérifient n′/N′ = n/N. On a, par inversion de Fourier,

f̄_{|( \begin{matrix}1 & n′/N′ \\ 0 & 1 \end{matrix} )} = ∑_{α} \frac{α(n′)}{ϕ(N′)}S_{α}f̄,

où α parcourt les caractères de Dirichlet de niveau N′. En combinant avec la formule 4, on obtient

f̄_{|( \begin{matrix}1 & n/N \\ 0 & 1 \end{matrix} )} = ∑_{ω} \frac{ω(n′)}{ϕ(N′)}τ(ω̄)(f̄⊗ ω)_{| ∏_{p} P_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))}^{[Σ_{N′} , \frac{Σ_{N′} −Σm_{ω}}{(Σ_{N′} −Σ_{mω)}∩Σ_{f}} ]}  (5)

où ω parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur m_{ω} divisant N′, le produit portant sur les nombres premiers divisant N′/m_{ω}.

2.6 Invariants locaux des tordues de formes modulaires, première analyse

On reprend les notations de 2.1 et 2.2. Soient n un entier > 0. Supposons m_{χ} et N_{S} premiers entre eux. On a a_{n}(f ⊗ χ) = a_{n}χ(n) et

w_{S}(f ⊗ χ) = χ̄(m_{χ})w_{S}(f).

De plus si N est premier à m_{χ}, le caractère de f⊗χ est ψχ^{2} et on a N_{χ} = Nm_{χ}^{2}.

Nous allons maintenant étudier les cas où m_{χ}, N_{S} et n ne sont pas premiers entre eux.

Soit p un nombre premier. On dit que f est p-primitive par torsion si pour tout caractère de Dirichlet χ de conducteur une puissance de p, le niveau de f ⊗ χ est ≥ N. C’est évidemment une propriété locale, qui serait peut-être davantage mise en valeur par le langage adélique. On suppose que m_{χ}, N_{S} et n sont des puissances de p et que f est p-primitive par torsion.

Notons (ψχ)_{0} le caractère primitif associé à ψχ. On a

L_{p}(f ⊗ χ, X)^{−1} = 1 − \frac{ā_{p}(ψχ)_{0}(p)}{p}X.

Comme on a

f_{χ} = f ⊗ χ_{|L_{p}(f⊗χ,( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))^{−1}}.

On a donc, puisque χ est primitif,

f ⊗ χ = f_{χ}_{|(1− \frac{āp(ψχ)(p)}{p}( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))^{−1}}.

Pour progresser dans l’étude des invariants de f ⊗ χ, il faut distinguer deux cas [2],

– on a a_{p}(f) ≠ 0 (cas de série principale), cela assure que f est primitive par torsion, ou

– on a a_{p}(f) = 0 et le conducteur du caractère de Dirichlet primitif associé à ψ est de valuation p-adique ≤ v_{p}(N)/2 (cas supercuspidal). (Cette dernière condition n’entraîne pas que f est p-primitive, voir [2].)

2.7 Invariants locaux des tordues de formes modulaires, cas de série principale

Reprenons la situation laissée en 2.6 en supposant a_{p} ≠ 0. On suppose χ non trivial. Le niveau N_{χ} de f ⊗ χ est donné par la recette suivante [2]. On a

v_{p}(N_{χ}) = v_{p}(m_{χ}m_{ψχ}).

On a [2] théorème 4.1,

w_{S}(f ⊗ χ) = ψ̄S̄(m_{χ})χ(−1)\frac{τ(ψ_{S}χ)}{τ(χ̄)}

si v_{p}(m_{χ}) ≥ v_{p}(N) et v_{p}(m_{χψ}) = v_{p}(m_{χ}). On a de plus, [2] théorème 4.2,

w_{S}(f ⊗ χ) = ψ̄S̄(m_{χ})χ(−1)(\frac{N_{S}}{m_{χ}})^{k/2−1} \frac{τ(ψ_{S}χ)}{a_{N_{S}/m_{χ}}(f)τ(χ̄)}

si v_{p}(m_{χ}) < v_{p}(N). On a enfin, [2] corollaire 4.2,

w_{S}(f ⊗ χ) = ψ̄S̄(m_{χ})χ(−1)\frac{τ(ψ_{S}χ)}{τ(χ̄)}

si v_{p}(m_{χ}) = v_{p}(N) et v_{p}(m_{χψ}) < v_{p}(m_{χ}).

2.8 Invariants locaux des tordues de formes modulaires, cas supercuspidal

Reprenons la situation laissée en 2.6 en supposant a_{p} = 0. On a

v_{p}(N_{χ}) = max(v_{p}(m_{χ}^{2}), v_{p}(m_{ψ}m_{χ}), v_{p}(N))

Posons au préalable, pour tout caractère de Dirichlet primitif ω m′_{ω} = m_{ω} si ω(p) ≠ 0 et m′_{ω} = pm_{ω} si ω(p) = 0 On a, [2] théorème 4.1,

w_{S}(f ⊗ χ) = ψ̄S̄(m_{χ})χ(−1)\frac{τ(ψ_{S}χ)}{τ(χ̄)}

si v_{p}(m_{χ}) ≥ v_{p}(N). On a enfin, [2] théorème 4.5,

w_{S}(f ⊗ χ) = w_{S}(f)\frac{ψS̄(N_{S}/m_{χ})χ(−1)ψ_{S}(−1)}{(N′′_{χ,S}/N_{S})ϕ(N_{S}/m_{χ})} \frac{1}{τ(χ̄)} ∑_{ω} τ(ω)τ(χψ_{S}ω)w_{f⊗ψ̄_{S} ω̄}.

si v_{p}(m_{χ}) < v_{p}(N), où N′′_{χ,S} = max(N_{S}, N_{S}m_{ψ}/m_{χ}, N_{S}^{2}/m_{χ}^{2}) et où ω parcourt les caractères de Dirichlet tels que m′_{ω} = N_{S}/m_{χ} et m_{χψ_{S}ω} = N′′_{χ,S}m_{χ}/N_{S}. En particulier, lorsque v_{p}(m_{χ}) > v_{p}(N)/2, w_{S}(f ⊗ χ) se déduit de la collection des w_{S}(f ⊗ ω), pour ω caractère vérifiant m_{ω}^{2}|N_{S} ; en particulier, lorsque v_{p}(m_{χ}) > v_{p}(N)/2, w_{S}(f ⊗ χ) se déduit de la collection des w_{S}(f ⊗ ω) pour N_{ω,S} = N_{S}.

2.9 Invariants locaux des tordues de formes primitives par torsion, conclusion

Supposons f primitive par torsion (c’est-à-dire p-primitive par torsion pour tout nombre premier p). La donnée de a_{p}(f) et de w_{S}(f⊗ω) (p ∈ Σ_{N}, S ⊂ Σ_{N}, et ω caractère primitif tel que N_{ω} = N et a_{r}(f) = 0 (r ∈ S et r|m_{χ})) détermine N_{χ}, a_{p}(f ⊗ χ), w_{S}(f ⊗ χ) (p ∈ Σ_{N}, S ⊂ Σ_{N}).

3 Le théorème 1 et ses corollaires

3.1 La démonstration du théorème 1

Soit g = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(Z) telle que la classe modulo N de (c, d) soit

égale à (u, v).

On peut comprendre notre démarche ainsi. La fonction f_{|g} est une forme modulaire pour le groupe de congruence Γ (N), si bien que la fonction f_{|g( \begin{matrix}N & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )} est modulaire pour le groupe de congruence Γ_{1}(N) ∩ Γ_{0}(N^{2}).

Cette dernière forme modulaire s’écrit donc comme combinaison linéaire de fonctions du type F_{|( \begin{matrix}d & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}, où F parcourt les formes primitives de niveau

M divisant N^{2} et d les entiers divisant N^{2}/M. Nous allons montrer que les formes primitives qui interviennent dans cette écriture sont de la forme f ⊗ χ, où χ parcourt les caractères de Dirichlet de niveau divisant N et donner explicitement les coefficients de cette combinaison linéaire.

Lorsque k = 2, on a ξ_{f}(u, v) = ∫_{0}^{∞} f_{|g}(iy) dy. Lorsque, de plus, s = 1 et h est une matrice diagonale de PGL_{2}(Q)^{+}, et χ est un caractère de Dirichlet de conducteur divisant N, on a

∫_{0}^{∞}(f ⊗ χ)_{|h}(iy)d y = \frac{1}{2π} L(f ⊗ χ, 1) = \frac{1}{\sqrt{N_{χ}}} Λ(f ⊗ χ, 1).

C’est pourquoi le théorème 1 se déduit de la proposition 6 suivante, par intégration de chaque membre de l’égalité ci-dessous le long de la géodésique reliant 0 à ∞ dans le demi-plan de Poincaré.

Remarquons que la proposition 6 permet de démontrer des analogues du théorème 1 pour les formes modulaires de poids ≠ 2. (Voir par exemple la thèse de F. Martin lorsque k = 1 [13].)

Proposition 6. On a

f_{|g} = \frac{w(f)}{ϕ(N′)} ∑_{χ} χS̄(m_{χ,S})(ψ̄_{S}χ̄_{S})(m_{ψχ,S̄})(ψ_{S}χ_{S})(−1)τ′(χ_{S})τ′(ψ̄S̄χ̄S̄)

(ψ̄S̄χ̄2 ; S̄)(N_{χ,S})\overline{w_{S}(f ⊗ χ)}(ψ̄χ̄)(\frac{N ′ ; S̄v}{NS̄})χ(\frac{N′_{S}u}{N_{S}})

(f ⊗ χ)_{|( \begin{matrix}\frac{N ′ ; S̄}{N_{χ,S}NS̄m_{ψχ,S̄}} & 0 \\ 0 & \frac{N′_{S}}{N_{S}m_{χ̄,S}} \end{matrix} )(∗∗)}^{[ \frac{Σ_{N′} −S(mχ)}{(S(N′)−S(mχ))∩Σ_{f}} , \frac{Σ_{N′} −S̄(mψ̄χ̄)}{(S̄(N′)−S̄(mψ̄χ̄))∩Σ_{f}} ]},

où χ parcourt les caractères de Dirichlet primitifs tel que m_{χ,S}m_{ψχ,S̄}|N′ et où

∗∗ = ∏_{p∈S(N′)} Q_{p,f,χ̄} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} ) ∏_{p∈S̄(N′)} Q_{p,f,χψ} ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Démonstration.- Considérons ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ∈ M_{2}(Z) telle que N_{S}N′_{S}|A, N_{S}N′_{S}|D,

NN′|C, NS̄N ′ ; S̄|B, AD − BC = N_{S}N′_{S}, A ≡ uN′_{S} (mod NS̄) et B ≡ v/NS̄

(mod N_{S}). Soit k ∈ Z tel que n ≡ uv (mod NS̄) et n ≡ −uv (mod N_{S}). Notre point de départ réside dans l’identité

Γ_{1}(N)g = Γ_{1}(N) ( \begin{matrix}0 & −1 \\ N & 0 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}1 & n/N \\ 0 & 1 \end{matrix} ) ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) ( \begin{matrix}NN′_{S} & 0 \\ 0 & N_{S} \end{matrix} )^{−1} ,

que le lecteur vérifiera grâce au lemme chinois. Comme w(f)f̄ = f_{|( \begin{matrix}0 & 1 \\ −N & 0 \end{matrix} )},

on a la formule

f_{|g} = w(f)f̄_{|( \begin{matrix}1 & n/N \\ 0 & 1 \end{matrix} )( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )( \begin{matrix}NN′_{S} & 0 \\ 0 & N_{S} \end{matrix} )^{−1}},

et donc, d’après la formule 5,

f_{|g} = w(f) ∑_{ω} \frac{ω(n′)}{ϕ(N′)}τ(ω̄)(f̄⊗ ω)_{| ∏_{p} P_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )( \begin{matrix}NN′_{S} & 0 \\ 0 & N_{S} \end{matrix} )^{−1}}^{[Σ_{N′} , \frac{Σ_{N′} −Σm_{ω}}{(Σ_{N′} −Σ_{mω)}∩Σ_{f}} ]}

(6)

où ω parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur m_{ω} divisant N′, le produit portant sur les nombres premiers divisant N′.

Appliquons les formules de 2.2 à F = f̄⊗ ω : on a M = N_{ω}, ψ′ = ψ̄ω^{2} et F ⊗ ψ̄′_{S} = f̄⊗ ωψ_{S}ω̄_{S}^{2} = f̄⊗ ψ_{S}ω̄_{S}ωS̄ = f ⊗ ψ̄S̄ω̄_{S}ωS̄.

Soit p ∈ Σ_{N}. Soit r un entier ≥ 0. On a

(f̄⊗ ω)_{|( \begin{matrix}p^{r} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )} = (f̄⊗ ω)_{|( \begin{matrix}p^{r}A & B \\ C & D/p^{r} \end{matrix} )( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p^{r} \end{matrix} )}

si p ∈ S et

(f̄⊗ ω)_{|( \begin{matrix}p^{r} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )} = (f̄⊗ ω)_{|( \begin{matrix}A & p^{r}B \\ C/p^{r} & D \end{matrix} )( \begin{matrix}p^{r} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}

si p ∈ S̄. On a de plus les formules

(f̄⊗ ω)_{|( \begin{matrix}p^{r}A & B \\ C & D/p^{r} \end{matrix} )} = (ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(B)(ψS̄ω̄2 ; S̄)(p^{r}A/(N_{S}N′_{S}))

w_{S}(f̄⊗ ω)(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|( \begin{matrix}N_{S}N′_{S}/N_{ω̄,S} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}

lorsque p^{r}|(N_{S}N′_{S}/N_{ω,S}) et

(f̄⊗ ω)_{|( \begin{matrix}A & p^{r}B \\ C/p^{r} & D \end{matrix} )} = (ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(p^{r}B)(ψS̄ω̄2 ; S̄)(A/(N_{S}N′_{S}))

w_{S}(f̄⊗ ω)(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|( \begin{matrix}N_{S}N′_{S}/N_{ω̄,S} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}

lorsque p^{r}|(NS̄N ′ ; S̄/N_{ω,S̄}). Soit P ∈ C[X]. On a alors

(f̄⊗ ω)_{|P( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )} = (ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(B)(ψS̄ω̄2 ; S̄)(A/(N_{S}N′_{S}))w_{S}(f̄⊗ ω)

(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|P ((ψS̄ω̄2 ; S̄)(p)( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} ))( \begin{matrix}\frac{N_{S}N′_{S}}{N_{ω̄,S}} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}.

si p ∈ S et P de degré ≤ v_{p}(N_{S}N′_{S}/N_{ω,S}) et on a

(f̄⊗ ω)_{|P( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )} = (ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(B)(ψS̄ω̄2 ; S̄)(A/(N_{S}N′_{S}))w_{S}(f̄⊗ ω)

(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|P ((ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(p)( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))( \begin{matrix}\frac{N_{S}N′_{S}}{N_{ω̄,S}} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}.

si p ∈ S̄ et P de degré ≤ v_{p}(NS̄N ′ ; S̄/N_{ω,S̄}).

On en déduit que

(f̄⊗ ω)_{|( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )}^{[\{p\},∅]} = (ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(B)(ψS̄ω̄2 ; S̄)(A/(N_{S}N′_{S}))

w_{S}(f̄⊗ ω)(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|( \begin{matrix}N_{S}N′_{S}/N_{ω̄,S} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}^{[∅,\{p\}]}

si et p ∈ S et

(f̄⊗ ω)^{[\{p\},∅]}| ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) = (ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(B)(ψS̄ω̄2 ; S̄)(A/(N_{S}N′_{S}))

w_{S}(f̄⊗ ω)(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|( \begin{matrix}N_{S}N′_{S}/N_{ω̄,S} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}^{[\{p\},∅]}

si p ∈ S̄. Un calcul analogue donne les formules

(f̄⊗ ω)_{|( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )}^{[∅,\{p\}]} = (ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(B)(ψS̄ω̄2 ; S̄)(A/(N_{S}N′_{S}))

w_{S}(f̄⊗ ω)(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|( \begin{matrix}N_{S}N′_{S}/N_{ω̄,S} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}^{[\{p\},∅]}

si et p ∈ S et

(f̄⊗ ω)^{[∅,\{p\}]}| ( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} ) = (ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(B)(ψS̄ω̄2 ; S̄)(A/(N_{S}N′_{S}))

w_{S}(f̄⊗ ω)(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|( \begin{matrix}N_{S}N′_{S}/N_{ω̄,S} & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )}^{[∅,\{p\}]}

si p ∈ S̄.

Dans les quatre formules qui précèdent, on peut remplacer, partout où il intervient, le symbole \{p\} par \frac{\{p\}}{\{p\}∩Σ_{f}}.

Remarquons qu’on a, dans C(X), Q_{p,f,ω}(X) = X^{−v_{p}(N′/m_{χ})}P_{p}(X). On a

∏_{p∈S(N′)} P_{p}((ψS̄ω̄2 ; S̄)(p) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} )) ∏_{p∈S̄(N′)} P_{p}((ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(p) ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) =

(ψS̄ω̄2 ; S̄)(N′_{S}/m_{ω,S})(ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(N ′ ; S̄/m_{ω,S̄}) ( \begin{matrix}N ′ ; S̄/m_{ω,S} & 0 \\ 0 & N′_{S}/m_{ω,S̄} \end{matrix} )

∏_{p∈S(N′)} Q_{p,f,ω}((ψS̄ω̄2 ; S̄)(p) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} )) ∏_{p∈S̄(N′)} Q_{p,f,ω}((ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(p) ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )).

Revenons à la formule 6. On a

(f̄⊗ ω)_{| ∏_{p} P_{p}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))( \begin{matrix}A & B \\ C & D \end{matrix} )( \begin{matrix}NN′_{S} & 0 \\ 0 & N_{S} \end{matrix} )^{−1}}^{[Σ_{N′} , \frac{Σ_{N′} −Σm_{ω}}{(Σ_{N′} −Σ_{mω)}∩Σ_{f}} ]} =

(ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(\frac{N ′ ; S̄B}{m_{ω,S̄}})(ψS̄ω̄2 ; S̄)(\frac{A}{N_{S}m_{ω,S}})

w_{S}(f̄⊗ ω)(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|( \begin{matrix}\frac{N ′ ; S̄}{N_{ω̄,S}NS̄m_{ω,S̄}} & 0 \\ 0 & \frac{N′_{S}}{N_{S}m_{ω,S}} \end{matrix} )(∗∗)}^{[ \frac{Σ_{N′} −S(mχ)}{(S(N′)−S(mχ))∩Σ_{f}} , \frac{Σ_{N′} −S̄(mψ̄χ̄)}{(S̄(N′)−S̄(mψ̄χ̄))∩Σ_{f}} ]},  (7)

où

∗∗ = ∏_{p∈S(N′)} Q_{p,f,ω}((ψS̄ω̄2 ; S̄)(p) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} )) ∏_{p∈S̄(N′)} Q_{p,f,ω}((ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(p) ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))

Par ailleurs, on a les formules

(ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(N ′ ; S̄B) = (ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(N ′ ; S̄v/NS̄), (ψS̄ω̄2 ; S̄)(A/N_{S}) = (ψS̄ω̄2 ; S̄)(uN′_{S}/N_{S})

et ω(n′) = ω(nN′/N) = ω_{S}(nN′/N)ωS̄(nN′/N) = ω_{S}(−uvN′/N)ωS̄(uvN′/N) et donc

ω(n′) = ω_{S}(−1)ω(uN′_{S}/N_{S})ω(vN ′ ; S̄/NS̄).

On a donc la simplification

ω(n′)(ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(N ′ ; S̄B)(ψS̄ω̄2 ; S̄)(\frac{A}{N_{S}}) = ω_{S}(−1)ψ_{S}ω̄_{S}ωS̄(\frac{N ′ ; S̄v}{NS̄})ψS̄ω̄S̄ω_{S}(\frac{N′_{S}u}{N_{S}}).

De plus on a

Q_{p,f,ω}((ψS̄ω̄2 ; S̄)(p) ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} )) = Q_{p,f,ω̄S̄ω_{S}ψS̄}(( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} ))

si p ∈ S et

Q_{p,f,ω}((ψ_{S}ω̄_{S}^{2})(p) ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} )) = Q_{p,f,ωS̄ω̄_{S}ψ_{S}}(( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ))

si p ∈ S̄.

En combinant avec la formule 7, on obtient

f_{|g} = \frac{w(f)}{ϕ(N′)} ∑_{ω}(ψ̄S̄ω2 ; S̄)(m_{ω,S})(ψ̄_{S}ω_{S}^{2})(m_{ω,S̄})(ψ_{S}ω̄_{S}ωS̄)(\frac{N ′ ; S̄v}{NS̄})(ψS̄ω̄S̄ω_{S})(\frac{N′_{S}u}{N_{S}})

τ(ω̄)ω_{S}(−1)w_{S}(f̄⊗ ω)(f̄⊗ ωS̄ω̄_{S}ψ_{S})_{|( \begin{matrix}\frac{N ′ ; S̄}{N_{ω̄,S}NS̄m_{ω,S̄}} & 0 \\ 0 & \frac{N′_{S}}{N_{S}m_{ω,S}} \end{matrix} )(∗∗)}^{[ \frac{Σ_{N′} −S(mχ)}{(S(N′)−S(mχ))∩Σ_{f}} , \frac{Σ_{N′} −S̄(mψ̄χ̄)}{(S̄(N′)−S̄(mψ̄χ̄))∩Σ_{f}} ]}, (8)

où ω parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur divisant N′ et où

∗∗ = ∏_{p∈S(N′)} Q_{p,f,ω̄S̄ω_{S}ψS̄} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} ) ∏_{p∈S̄(N′)} Q_{p,f,ωS̄ω̄_{S}ψ_{S}} ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ) .

Simplifions encore cette formule. On a la relation entre sommes de Gauss

τ(ω̄) = ω̄_{S}(m_{ω̄,S̄})ω̄S̄(m_{ω̄,S})τ(ω̄_{S})τ(ω̄S̄).

Cela donne

τ(ω̄)(ψ̄S̄ω2 ; S̄)(m_{ω,S})(ψ̄_{S}ω_{S}^{2})(m_{ω,S̄}) = τ(ω̄_{S})τ(ω̄S̄)(ψ̄S̄ωS̄)(m_{ω,S})(ψ̄_{S}ω_{S})(m_{ω,S̄}).

Récrivons 8 en notant χ le caractère de Dirichlet primitif associé à ωS̄ω̄_{S}ψ̄S̄. On a donc χ_{S} = ω̄_{S} et χS̄ = ωS̄ψ̄S̄, S(m_{ω}) = S(m_{χ}), S̄(m_{ω}) = S̄(m_{ψχ}), N_{ω̄,S} = N_{χ,S} et ω_{S}(−1) = χ_{S}(−1).

On obtient

f_{|g} = \frac{w(f)}{ϕ(N′)} ∑_{χ} τ′(χ_{S})τ′(ψ̄S̄χ̄S̄)χ_{S}(−1)χS̄)χS̄(m_{χ,S})(ψ̄_{S}χ̄_{S})(m_{ψχ,S̄})

(ψ̄χ̄)(\frac{N ′ ; S̄v}{NS̄})χ(\frac{N′_{S}u}{N_{S}})w_{S}(f ⊗ψ̄_{S}χ̄_{S}χS̄)(f ⊗χ)_{|( \begin{matrix}\frac{N ′ ; S̄}{N_{χ,S}NS̄m_{ψχ,S̄}} & 0 \\ 0 & \frac{N′_{S}}{N_{S}m_{χ̄,S}} \end{matrix} )(∗∗)}^{[ \frac{Σ_{N′} −S(mχ)}{(S(N′)−S(mχ))∩Σ_{f}} , \frac{Σ_{N′} −S̄(mψ̄χ̄)}{(S̄(N′)−S̄(mψ̄χ̄))∩Σ_{f}} ]},

(9)

où χ parcourt les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur divisant N′ et où

∗∗ = ∏_{p∈S(N′)} Q_{p,f,χ̄} ( \begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & p \end{matrix} ) ∏_{p∈S̄(N′)} Q_{p,f,χψ} ( \begin{matrix}p & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix} ).

Appliquons la relation 1 pour F = f ⊗ χ (et donc ψ′ = ψχ^{2}). On obtient

w_{S}(f ⊗ χ)w_{S}(f ⊗ ψ̄_{S}χ̄_{S}χS̄) = ψ_{S}(−1)(ψ̄S̄χ̄2 ; S̄)(N_{χ,S}).

Cela permet de substituer w_{S}(f ⊗ψ̄_{S}χ̄_{S}χS̄) dans 9 pour obtenir la proposition 6.

3.2 Réciproque du corollaire 2 et observations algorithmiques sur les aspects locaux

Le lecteur vérifiera sans peine que les termes qui apparaissent dans la formule du théorème 1 se déduisent des invariants dont la liste est donnée dans le corollaire 2.

Nous nous proposons dans cette section d’étudier la réciproque : comment la fonction ξ_{f} permet de retrouver les données (i), (ii), (iii), (iv) et (v). La procédure à suivre pour cette étude nous paraît plus agréable lorsque ξ_{f} est primitive par torsion. a. Les invariants de f en termes de la fonction ξ_{f}

On obtient le caractère de nebentypus ψ de f grâce à la formule ξ_{f}(λu, λv) = ψ̄(λ)ξ_{f}(u, v) (u, v ∈ (Z/NZ), λ ∈ (Z/NZ)^{∗}. On peut déterminer a_{p}ξ_{f} (et donc L_{p}(f, p^{−s})) et ξW_{S}f lorsque p est un nombre premier et S un sous-ensemble de Σ_{N} grâce aux formules données dans [15], théorèmes 2 et 5.

b. Torsion de f par des caractères ω tels que N = N_{ω}

Supposons f primitive par torsion. Proposition 7. Soit ω un caractère de Dirichlet primitif tel que N = N_{ω} et tel que pour tout nombre premier p divisant m_{ω} on a a_{p}(f) = 0. Soit (u, v) ∈ (Z/NZ)^{2} d’ordre N. Choisissons un sous-groupe cyclique C d’ordre m_{ω} de (Z/NZ)^{2} tel que C ∩ Z(u, v) = {0}. On a alors

w(f)w(f̄⊗ ω̄)ξ_{f⊗ω}(u, v) = \frac{1}{τ(ω)} ∑_{(x,y)∈(u,v)+C} ω((yu − xv)m/N)ξ_{f}(x, y).

Démonstration.- Puisque f est primitive par torsion, et que a_{p}(f) = 0 pour tout nombre premier p divisant m_{ω}, on a f ⊗ ω̄ = fω̄. Appliquons la section 2.3,

f ⊗ ω̄ = fω̄ = \frac{1}{τ(ω)}Sω̄f = \frac{1}{τ(ω)} ∑_{t=0}^{m−1} ω(t)f_{|(( \begin{matrix}1 & t/m \\ 0 & 1 \end{matrix} )}.

On a donc, puisque N_{ω} = N,

w(f)w(f̄⊗ ω̄)f ⊗ ω = \frac{1}{τ(ω)} ∑_{t=0}^{m−1} ω(t)f_{|(( \begin{matrix}0 & −1 \\ N & 0 \end{matrix} )(( \begin{matrix}1 & t/m \\ 0 & 1 \end{matrix} )( \begin{matrix}0 & −1 \\ N & 0 \end{matrix} )}

= \frac{1}{τ(ω)} ∑_{t=0}^{m−1} ω(t)f_{|( \begin{matrix}1 & 0 \\ −tN/m & 1 \end{matrix} )}.

Soit ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(Z) telle que (c, d) ∈ (u, v). On a

w(f)w(f̄⊗ ω̄)f ⊗ ω_{|( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )} = \frac{1}{τ(ω)} ∑_{t=0}^{m−1} ω(t)f_{|( \begin{matrix}1 & 0 \\ −tN/m & 1 \end{matrix} )( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} )}.

Cela se traduit par la formule :

w(f)w(f̄⊗ ω̄)ξ_{f⊗ω}(u, v) = \frac{1}{τ(ω)} ∑_{t=0}^{m−1} ω(t)ξ_{f}(c − atN/m, d − btN/m).

Posons (x, y) = (c − atN/m, d − btN/m) dans (Z/NZ)^{2}. On a alors la relation xv − yu = −tN/m. Lorsque t décrit les entiers de 0 à m − 1, (atN/m, btN/m) décrit bien un sous-groupe C comme indiqué dans l’énoncé de la proposition. c. Les invariants locaux des tordues de f par des caractères χ tels que N_{ω} = N

Soit ω un caractère de Dirichlet tel que N_{ω} = N et tel que pour tout nombre premier p divisant m_{ω} on a a_{p}(f) = 0. Supposons f primitive par torsion. L’étape b. permet de connaître la fonction ξ_{f⊗ω} à multiplication par un scalaire près. Cela permet de déterminer le facteur L_{p}(f ⊗ χ, p^{−s}) et w_{S}(f ⊗ χ) pour p ∈ Σ_{N} et S ⊂ Σ_{N} grâce encore à [15], théorèmes 2 et 5.

d. Les invariants locaux des tordues de f ⊗ χ pour χ caractère quelconque

Supposons encore f primitive par torsion. Les invariants locaux de f ⊗ χ, pour χ caractère quelconque, se déduisent des invariants locaux de f ⊗ω pour ω parcourant les caractères tels que N_{ω} = N, d’après la conclusion 2.9 des sections 2.6, 2.7 et 2.8.

e. Les nombres Λ(f ⊗ χ, 1) pour χ caractère de niveau divisant N

Supposons encore f primitive par torsion. Après l’étape d, tous les termes qui interviennent dans la formule du théorème 1 sont déterminés, excepté les valeurs Λ(f ⊗ χ, 1) pour χ caractère de niveau divisant N. Ces derniers nombres sont eux aussi déterminés par le théorème 1, il suffit de s’assurer qu’ils interviennent au moins une fois précédés d’un coefficient non nul. C’est bien le cas, si on choisit u et v tels que N′ = m_{χ}.

f. Que faire lorsque f n’est pas primitive par torsion ?

Indiquons succinctement comment on peut ramener le cas général (i.e. f n’est pas primitive par torsion) au cas où f est primitive par torsion. Pour cela il faut déterminer quel caractère χ_{0} est tel que N_{χ_{0}} soit minimal, puis déterminer N_{χ_{0}} et la fonction ξ_{f⊗χ_{0}} : (Z/N_{χ_{0}}Z)^{2} → C. Pour cela on peut considérer tous les caractères χ de niveau divisant N et les formes modulaires f_{χ} qui sont propres pour presque tous les opérateurs de Hecke d’indice premiers. On peut déterminer les symboles de Manin associés à f_{χ}.

Le problème revient, alors à la question suivante. Soit F une forme modulaire propre pour presque tout opérateur de Hecke d’indice premier de forme primitive associée F_{0}. Étant donné ξ_{F}, comment trouver F_{0} ? C’est possible si on connaît l’action des morphismes de dégénérescence sur les symboles de Manin. Les formules dans ce sens sont données dans [15], proposition 15, 16 et 17. Cette manipulation est moins agréable que celles que nous avons faites lorsque f est primitive par torsion.

3.3 Équations fonctionnelles et relations de Manin

Dans [10], Manin décrit deux familles d’équations fonctionnelles satisfaites par ξ_{f} (dites relations de Manin) :

ξ_{f}(u, v) + ξ_{f}(−v, u) = 0  (10)

et

ξ_{f}(u, v) + ξ_{f}(v, −u − v) + ξ(−u − v, u) = 0  (11)

((u, v) ∈ (Z/NZ)^{2}). Observons comment se traduit la relation 10 en utilisant la formule du théorème 1. Pour cela remarquons que le théorème 1 a la forme suivante :

ξ_{f}(u, v) = ∑_{χ} c_{χ,S}c_{ψ̄χ̄,S̄}χ_{S}(−1)(ψ̄S̄χ̄2 ; S̄)(N_{χ,S})\overline{w_{S}(f ⊗ χ)}

Λ^{[ \frac{Σ_{N′} −S(mχ)}{(S(N′)−S(mχ))∩Σ_{f}} , \frac{Σ_{N′} −S̄(mψ̄χ̄)}{(S̄(N′)−S̄(mψ̄χ̄))∩Σ_{f}} ]}(f ⊗ χ, 1)(ψ̄χ̄)(\frac{N ′ ; S̄v}{NS̄})χ(\frac{N′_{S}u}{N_{S}}),

où χ parcourt les caractères de Dirichlet primitifs tels que m_{χ,S}m_{ψχ,S̄}|N′ et où c_{χ,S} et c_{ψ̄χ̄,S̄} dépendent de f, χ, N′ et S mais pas de (u, v) et sont échangés par (χ, S) ↦ (χ̄ψ̄, S̄).

On peut appliquer le théorème 1 à ξ(u, v) et ξ(−v, u). L’identité 10 se traduit alors par une identification des χ-èmes termes pour chaque caractère χ. Après échanges simultanés de u et −v, de S et S̄ et des termes correspondant à χ et ψ̄χ̄ on retrouve alors l’équation fonctionnelle de la fonction s ↦ Λ(f⊗χ, s) en s = 1. Après vérification de la non nullité de suffisamment de coefficients (comme dans la section 3.2 étape e), on peut même établir qu’il y a équivalence entre la relation 10 et la totalité des équations fonctionnelle des Λ(f ⊗χ, s) en s = 1 pour χ parcourant les caractères de Dirichlet de conducteurs divisant N.

On peut se demander, en ayant à l’esprit les théorèmes inverses, comment interpréter la relation 11 en termes de fonctions L. Nous n’avons de réponse satisfaisante à cette question. Nous pouvons tout juste rappeler que les relations 10 et 11 sont équivalentes à 10 et

ξ_{f}(u, v) − ξ_{f}(v, u + v) − ξ(u + v, v) = 0  (12)

((u, v) ∈ (Z/NZ)^{2}). La famille de relations 12 a été mise en évidence par Lewis [7].

4 Produit de formes modulaires

4.1 Le produit scalaire de Petersson

Soit Γ un sous-groupe d’indice fini de SL_{2}(Z). Soient f_{1} et f_{2} deux formes modulaires paraboliques de poids 2 pour Γ. Rappelons que le produit scalaire de Petersson de f_{1} et f_{2} est donné par la formule :

< f_{1}, f_{2} >= \frac{1}{[SL_{2}(Z) : Γ]} ∫_{D_{Γ}} f_{1}(z)\overline{f}_{2}(z)dx dy,

où D_{Γ} est un domaine fondamental pour Γ dans le demi-plan de Poincaré H.

Posons τ = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & −1 \end{matrix} ) et σ = ( \begin{matrix}0 & −1 \\ 1 & 0 \end{matrix} ). Posons de plus ρ = e^{2iπ/3} ∈ H. Soit

R un système de représentants de Γ \SL_{2}(Z).

Théorème 8. On a

< f_{1}, f_{2} >= \frac{1}{2i[SL_{2}(Z) : Γ]} ∑_{g∈R} ∫_{g0}^{g∞} f_{1}(z) dz ∫_{gi}^{gρ} \overline{f_{2}(z) dz},

et

< f_{1}, f_{2} >=

\frac{−i}{12[SL_{2}(Z) : Γ]} ∑_{g∈R} ∫_{gτ0}^{gτ∞} f_{1}(z) dz ∫_{g0}^{g∞} \overline{f_{2}(z) dz}−∫_{g0}^{g∞} f_{1}(z) dz ∫_{gτ0}^{gτ∞} \overline{f_{2}(z) dz}.

Démonstration.- Posons ω_{1} = f_{1}(z) dz et ω_{2} = f_{2}(z) dz. Pour g dans SL_{2}(Z), posons ω_{j}_{|g} = f_{j}_{|g} dz (j ∈ {1, 2}). Considérons le domaine fondamental D_{0} pour SL_{2}(Z) constitué par le triangle hyperbolique de sommets ∞, 0 et ρ. On a

< f_{1}, f_{2} >= \frac{1}{2i[SL_{2}(Z) : Γ]} ∫_{D_{Γ}} ω_{1} ∧ \overline{ω_{2}} = \frac{1}{2i[SL_{2}(Z) : Γ]} ∑_{g∈R} ∫_{D_{0}} ω_{1}_{|g} ∧ \overline{ω_{2}_{|g}}.

Posons F_{g}(z) = ∫_{ρ}^{z} \overline{f_{2}_{|g}(u) du}. On a df_{1}_{|g}F_{g}(z) dz = ω_{1} ∧ \overline{ω_{2}}. Cela donne, par la formule de Stokes,

2i[SL_{2}(Z) : Γ] < f_{1}, f_{2} > = ∑_{g∈R} ∫_{∂D_{0}} f_{1}_{|g}F_{g}(z) dz

= ∑_{g∈R} ∫_{∞}^{0} f_{1}_{|g}F_{g}(z) dz + ∫_{0}^{ρ} f_{1}_{|g}F_{g}(z) + ∫_{0}^{ρ} f_{1}_{|g}F_{g}(z).

Utilisons que σ est d’ordre 2 dans PSL_{2}(Z) et qu’on a τρ = ρ et τ∞ = 0. Cela donne

2i[SL_{2}(Z) : Γ] < f_{1}, f_{2} >=

\frac{1}{2} ∑_{g∈R} ∫_{∞}^{0} f_{1}_{|g}F_{g}(z) dz+∫_{∞}^{0} f_{1}_{|gσ}F_{gσ}(z) dz+∑_{g∈R} ∫_{∞}^{ρ} f_{1}_{|g}F_{g}(z) dz+∫_{ρ}^{∞} f_{1}_{|gτ} F_{gτ} (z) dz.

Utilisons la relation F_{gh}(hz) = ∫_{h^{−1}ρ}^{z} \overline{f_{2}_{|g}(u) du}. On obtient

2i[SL_{2}(Z) : Γ] < f_{1}, f_{2} >= \frac{1}{2} ∑_{g∈R} ∫_{∞}^{0} ω_{1}_{|g} ∫_{σρ}^{ρ} \overline{ω_{2}_{|g}} + ∫_{ρ}^{∞} ω_{1}_{|gτ} ∫_{τ^{2}ρ}^{ρ} \overline{ω_{2}_{|g}}.

Le dernier terme est nul. Décomposons le deuxième facteur du premier terme. On a

2i[SL_{2}(Z) : Γ] < f_{1}, f_{2} >= \frac{1}{2} ∑_{g∈R} ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g}(∫_{σρ}^{σi} \overline{ω_{2}_{|g}} + ∫_{σi}^{ρ} \overline{ω_{2}_{|g}}).

Comme σi = i, et comme ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g}(∫_{σρ}^{σi} \overline{ω_{2}_{|g}}) = ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|gσ}(∫_{i}^{ρ} \overline{ω_{2}_{|gσ}}), on a la première formule du théorème.

Démontrons maintenant la deuxième formule. On a

2i[SL_{2}(Z) : Γ] < f_{1}, f_{2} >= ∑_{g∈R} ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{i}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}} − ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}}.

Calculons séparément les deux séries de termes. On a

∑_{g∈R} ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{i}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}} = \frac{1}{2} ∑_{g∈R} ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{i}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}} + ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|gσ} ∫_{i}^{∞} \overline{ω_{2}_{|gσ}},

et comme σ∞ = 0,

∑_{g∈R} ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{i}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}} = \frac{1}{2} ∑_{g∈R} ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{0}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}}.

Par ailleurs, on a

∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}} =

\frac{1}{3} ∑_{g∈R} ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}} + ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|gτ} ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|gτ}} + ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|gτ^{2}} ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|gτ^{2}}}.

Remarquons qu’on a ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} + ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|gτ} + ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|gτ^{2}} = 0. C’est pourquoi on a

∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}} =

\frac{1}{3} ∑_{g∈R} ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|gτ} (∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|gτ}} − ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}}) + ∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|gτ^{2}}(∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|gτ^{2}}} − ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}}).

Comme (∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|gτ}} − ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}}) = − ∫_{0}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}} et comme ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|gτ^{2}}} − ∫_{ρ}^{∞} \overline{ω_{2}_{|g}} = ∫_{0}^{∞} \overline{ω_{2}_{|gτ^{2}}}, on obtient, en posant λ_{j}(g) = ∫_{0}^{∞} ω_{j} (j ∈ \{1, 2\}),

∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{i}^{ρ} \overline{ω_{2}_{|g}} = \frac{1}{2} ∑_{g∈R} λ_{1}(g)\overline{λ_{2}(g)} + \frac{1}{3} ∑_{g∈R} λ_{1}(gτ)\overline{λ_{2}(g)} − \frac{1}{3} ∑_{g∈R} λ_{1}(gτ)\overline{λ_{2}(g)}

= \frac{1}{6} ∑_{g∈R} λ_{1}(g)\overline{λ_{2}(g)} + \frac{1}{3} ∑_{g∈R} λ_{1}(gτ)\overline{λ_{2}(g)}.

En utilisant la relation λ_{1}(g) + λ_{1}(gτ) + λ_{1}(gτ^{2}) = 0, on obtient finalement

∫_{0}^{∞} ω_{1}_{|g} ∫_{i}^{ρ} \overline{ω_{2}_{|g}} = \frac{1}{6} ∑_{g∈R} λ_{1}(gτ)\overline{λ_{2}(g)} − \frac{1}{6} ∑_{g∈R} λ_{1}(gτ)\overline{λ_{2}(gτ^{2})}.

Cela achève la démonstration.

Corollaire 9. Supposons qu’on ait Γ = Γ_{1}(N), on a

< f_{1}, f_{2} >=

\frac{i}{12[SL_{2}(Z) : Γ_{1}(N)]} ∑_{(u,v)∈(Z/NZ)^{2}} ξ_{f_{1}}(v, −u−v)\overline{ξ_{f_{2}}(u, v)}−ξ_{f_{1}}(u, v)\overline{ξ_{f_{2}}(v, −u − v)}.

Démonstration.- C’est une application directe de la deuxième formule du théorème 8, en tenant compte de la formule (j ∈ {1, 2})

ξ_{f_{j}}(u, v) = −i ∫_{g0}^{g∞} f_{j}(z) dz,

où g = ( \begin{matrix}a & b \\ c & d \end{matrix} ) ∈ SL_{2}(Z) vérifie (c, d) ∈ (u, v).

4.2 La fonction L du carré tensoriel

Supposons la forme modulaire f de caractère de nebentypus trivial et de niveau N premier. Considérons la série de Dirichlet

L(f ⊗ f, s) = ∑_{n=1}^{∞} \frac{a_{n}^{2}}{n^{s}} .

Elle admet un prolongement méromorphe au plan complexe, avec un pôle simple en s = 2 et on a [16] (notre normalisation pour le produit scalaire de Petersson est en rapport π/3 = vol(SL_{2}(Z)\H) avec celle de [16])

Res_{s=2}L(f ⊗ f, s) = 12π < f, f > .

Théorème 10. On a

Res_{s=2}L(f ⊗ f, s) = \frac{2πi}{(N + 1)(N − 1)^{2}} ∑_{χ,χ′,χχ′(−1)=−1} \frac{Λ(f ⊗ χ′, 1)Λ(f ⊗ χ, 1)}{τ(χχ′)},

où χ et χ′ parcourent les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur N tels que χχ′ soit impair.

Démonstration.- Partons de la formule donnée dans le corollaire 9. On a, puisque N est premier, [SL_{2}(Z) : Γ_{1}(N)] = (N^{2} − 1) et donc

< f, f >= \frac{i}{12(N^{2} − 1)} ∑_{(u,v)∈(Z/NZ)^{2}} ξ_{f}(v, −u−v)\overline{ξ_{f}(u, v)}−ξ_{f}(u, v)\overline{ξ_{f}(v, −u − v)}.

Venons-en à la fonction ξ_{f}. Puisque le nebentypus de f est trivial, la fonction ξ_{f} est homogène. C’est pourquoi on pose, pour u/v ∈ P_{1}(Z/NZ) = Z/NZ ∪ {∞},

ξ_{f}(u/v) = ξ_{f}(u, v).

Cela permet d’écrire

< f, f >= \frac{i}{12(N + 1)} ∑_{x∈P_{1}(Z/NZ)} ξ_{f}(−\frac{1}{x + 1})\overline{ξ_{f}(x)} − ξ_{f}(x)\overline{ξ_{f}(−\frac{1}{x + 1})}.

Utilisons la relation de Manin ξ_{f}(x) + ξ_{f}(−1/x) = 0 (x ∈ P_{1}(Z/NZ)). On obtient

< f, f >= \frac{i}{12(N + 1)} ∑_{x∈P_{1}(Z/NZ)} ξ_{f}(x)\overline{ξ_{f}(x + 1)} − ξ_{f}(x + 1)\overline{ξ_{f}(x)}.

Le terme correspondant à x = ∞ est nul dans la somme qui précède. Par application des relations de Manin, on a les relations ξ_{f}(1/0) + ξ_{f}(0/1) = 0 et ξ_{f}(1/0) + ξ_{f}(0/1) + ξ_{f}(−1/1) = 0. On en déduit ξ_{f}(−1) = 0 et ξ_{f}(1) = 0. C’est pourquoi on a également la nullité des termes correspondant à x = 0 et x = −1. On a donc, si on ne conserve que les termes correspondant à x ≠ 0, x ≠ 1 et x ≠ ∞ et si on change de plus x en −x,

< f, f >= \frac{i}{12(N + 1)} ∑_{x∈(Z/NZ)^{∗}−\{1\}} ξ_{f}(−x)\overline{ξ_{f}(1 − x)} − ξ_{f}(1 − x)\overline{ξ_{f}(−x)}.

Comme N est premier, rendons plus explicite le théorème 1. On a, pour x ∈ (Z/NZ)^{∗}, N′ = N et on peut choisir S = ∅ et S̄ = {N}. Le terme associé au caractère χ dans la formule du théorème 1 est nul lorsque χ = 1, car N est spécial pour f et on a que Λ^{[ \frac{\{N\}}{∅} , \frac{\{N\}}{\{N\}}]}(f, 1) est multiple de (1 − a_{N})Λ(f, 1) qui est nul (en effet a_{N} = −w(f) et Λ(f, 1) = 0 si w(f) ≠ −1). Lorsque χ est non trivial, le terme associé à χ se simplifie car on a χ_{S} = 1, Q_{p,f,χ} = 1, N_{χ} = N^{2}, L_{p}(f ⊗ χ, X) = 1. On obtient, pour x ∈ Z/NZ^{∗},

ξ_{f}(x) = \frac{w(f)}{N − 1} ∑_{χ≠1} \frac{τ(χ̄)}{N}χ(x)Λ(f ⊗ χ, 1)

où la somme porte sur les caractères de Dirichlet primitifs de conducteur N. Comme f est de nebentypus trivial, on a

\overline{Λ(f ⊗ χ, 1)} = Λ(f ⊗ χ̄, 1).

On en déduit, en utilisant que |w(f)| = 1,

< f, f >=

\frac{i}{12(N + 1)(N − 1)^{2}N^{2}} ∑_{x∈(Z/NZ)^{∗}−\{1\}} ∑_{χ,χ′} τ(χ̄)\overline{τ(χ̄′)}Λ(f⊗χ, 1)Λ(f⊗χ̄′, 1))F (χ, χ′),

où

F (χ, χ′) = ∑_{x∈(Z/NZ)^{∗}−{1}}(χ(−x)χ̄′(1 − x) − χ(1 − x)χ̄′(−x)).

Changeons χ′ en χ̄′ dans la somme. On obtient, en tenant compte de l’égalité \overline{τ(χ′)} = χ′(−1)τ(χ̄′),

< f, f >=

\frac{i}{12(N + 1)(N − 1)^{2}N^{2}} ∑_{χ,χ′} τ(χ̄)τ(χ̄′)χ′(−1)Λ(f ⊗ χ′, 1)Λ(f ⊗ χ, 1)F (χ, χ̄′)

Cette somme est antissymétrique (resp. symétrique) en χ et χ′ lorsque χ′(−1) = χ(−1) (resp. χ′(−1) = −χ(−1)). C’est pourquoi on a

< f, f >=

\frac{i}{6(N + 1)(N − 1)^{2}N^{2}} ∑_{χ,χ′,χχ′(−1)=−1} τ(χ̄)τ(χ̄′)χ′(−1)Λ(f⊗χ′, 1))Λ(f⊗χ, 1))E(χ, χ′).

où E(χ, χ′) = ∑_{x∈(Z/NZ)^{∗}−{1}} χ(−x)χ′(1 − x). On reconnaît dans cette dernière expression une somme de Jacobi donnée par la formule

E(χ, χ′) = χ(−1)\frac{τ(χ)τ(χ′)}{τ(χχ′)}.

On obtient donc, en tenant compte de l’imparité de χχ′,

< f, f >=

\frac{i}{6(N + 1)(N − 1)^{2}N^{2}} ∑_{χ,χ′,χχ′(−1)=−1} \frac{τ(χ)τ(χ′)τ(χ̄)τ(χ̄′)}{τ(χχ′)}Λ(f⊗χ′, 1)Λ(f⊗χ, 1)

Utilisons les identités τ(χ)τ(χ̄) = χ(−1)N = −χ′(−1)N = −τ(χ′)τ(χ̄′). On obtient

< f, f >= \frac{i}{6(N + 1)(N − 1)^{2}} ∑_{χ,χ′,χχ′(−1)=−1} \frac{Λ(f ⊗ χ′, 1)Λ(f ⊗ χ, 1)}{τ(χχ′)}.

Cela donne la formule annoncée lorsque l’on combine avec l’identité rappelée avant l’énoncé du théorème 10

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