UNE INTERSECTION DE QUADRIQUES LIÉE À LA SUITE DE STURM

Oleg Ogievetsky^{1} et Vadim Schechtman^{2}

1 Centre de Physique Théorique, Luminy, 13288 Marseille, France (Unité Mixte de Recherche 6207 du CNRS et des Universités Aix–Marseille I, Aix–Marseille II et du Sud Toulon – Var; laboratoire affilié à la FRUMAM, FR 2291) et Institut de Physique P.N. Lebedev, Département Théorique, Leninsky prospekt 53, 119991

Moscou, Russie; oleg@cpt.univ-mrs.fr

2 Laboratoire Emile Picard, UFR MIG, Université Paul Sabatier, 31062 Toulouse,

France; schechtman@math.ups-tlse.fr

A Yuri Ivanovich Manin, à l’occasion de son 70-ème anniversaire

TABLE DES MATIÈRES

Première Partie. Formules

§ 1. Introduction 632 § 2. Algèbre 𝔅 635 § 3. Début de la démonstration du théorème 1.5 639 § 4. Formule (A) 641 § 5. Formule (B) 642

Deuxième Partie. Polynômes d’Euler et déterminant de Cauchy

§ 1. Nombres β(j)_{i} 646 § 2. Polynômes d’Euler et fonction hypergéométrique 648 § 3. Asymptotiques 650

Bibliographie 653 PREMIÈRE PARTIE

FORMULES

§ 1. Introduction

1.1. Cet article est une variation sur un thème de [Jacobi].

Soit

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0}

un polynôme de degré n > 0 à coefficients dans un corps de base 𝔨 de caractéristique 0. Rappelons que la suite de Sturm de f,

𝔣 = (f_{0}, f_{1}, f_{2}, …) ,

est définie par récurrence : on pose f_{0}(x) = f(x), f_{1}(x) = f′(x) et pour j ≥ 1 f_{j+1} est le reste de la division euclidienne de f_{j−1} par f_{j}, avec le signe opposé :

f_{j−1}(x) = q_{j−1}(x)f_{j}(x) − f_{j+1}(x),  (1.1.1)

deg f_{j+1}(x) < deg f_{j}(x), cf. le célèbre mémoire [Sturm].

Dans cette note on propose des formules explicites pour les coefficients des polynômes f_{j} en termes des coefficients de f. Plus généralement, on donnera des formules analogues pour les membres de l’algorithme d’Euclide correspondant à deux polynômes quelconques f_{1}, f_{2} de degrés n − 1, n − 2.

Notre point de départ est une algèbre 𝔅, quotient de l’anneau de polynômes en variables b(i)_{j} (i ≥ 1, j ≥ 2i) par certains rélations quadratiques, cf. (1.7.1) ci-dessous. Nos formules sont des conséquences des identités dans 𝔅, analogues des rélations de Plücker.

1.2. Pour énoncer le résultat, introduisons les quantités quadratiques

b(j)_{i} = n ∑_{p=0}^{j−1} (i − 2p)a_{n−p}a_{n−i+p} − j(n − i + j)a_{n−j}a_{n+j−i},

j ≥ 1, i ≥ 2j. Ici on pose a_{i} = 0 pour i < 0. Par exemple,

b(1)_{i} = nia_{n}a_{n−i} − (n − i + 1)a_{n−1}a_{n−i+1} .

1.3. Ensuite on introduit, pour m ≥ 2, les matrices (m − 1) × (m − 1) symétriques

C(m) = ( \begin{matrix}b(1)_{2} & b(1)_{3} & b(1)_{4} & b(1)_{5} & … & b(1)_{m} \\ b(1)_{3} & b(2)_{4} & b(2)_{5} & b(2)_{6} & … & b(2)_{m+1} \\ b(1)_{4} & b(2)_{5} & b(3)_{6} & b(3)_{7} & … & b(3)_{m+2} \\ b(1)_{5} & b(2)_{6} & b(3)_{7} & b(4)_{8} & … & b(4)_{m+3} \\ . & . & . & . & … & . \\ b(1)_{m} & b(2)_{m+1} & b(3)_{m+2} & b(4)_{m+3} & … & b(m − 1)_{2m−2} \end{matrix} ) .

De plus, pour i ≥ 0 on définit une matrice ”décalée” C(m)_{i} : elle est obtenue en remplaçant dans C(m) la dernière ligne par

( b(1)_{m+i} b(2)_{m+i+1} b(3)_{m+i+2} b(4)_{m+i+3} … b(m − 1)_{2m+i−2} ) .

Donc C(m)_{0} = C(m). On pose

c(m)_{i} := det C(m)_{i}, c(m) := c(m)_{0} .

En particulier,

c(2)_{i} = b(1)_{i+2}

Il est commode de poser

c(1)_{i} := \frac{(n − i)a_{n−i}}{na_{n}} ,

i ≥ 0, c(1) := c(1)_{0} = 1.

1.4. Puis on définit les nombres γ_{j}, j ≥ 1 par récurrence :

γ_{1} = na_{n}, γ_{2} = −\frac{1}{n^{2}a_{n}} , γ_{j+1} = γ_{j−1} · \frac{c(j − 1)^{2}}{c(j)^{2}} ,

j ≥ 2. Autrement dit,

γ_{j} = (−1)^{j+1}ϵ_{j} · ∏_{i=1}^{j−2} c(j − i)^{2(−1)^{i}} ,

où ϵ_{j} = na_{n} si j est impair et 1/(n^{2}a_{n}) sinon.

Les nombres γ_{1}, …, γ_{j} sont donc bien définis si tous les nombres c(2), c(3), …, c(j− 1) sont différents de zéro.

1.5. Théorème. Supposons que deg f_{j} = n − j, donc deg f_{i} = n − i pour i ≤ j.

Alors pour tous i ≤ j, on a c(i) ≠ 0 et

f_{i}(x) = γ_{i} · ∑_{p=0}^{n−i} c(i)_{p}x^{n−i−p} .

En particulier, le coefficient dominant de f_{i}(x) est égal à γ_{i}c(i).

1.6. On vérifie aussitôt que

b(k)_{i} − b(k − 1)_{i} = c(1)_{k−1}b(1)_{i−k+1} − c(1)_{i−k}b(1)_{k}  (1.6.1)

pour tous k ≥ 2, i ≥ 2k − 2. Par exemple,

b(2)_{i} − b(1)_{i} = c(1)_{1}b(1)_{i−1} − c(1)_{i−2}b(1)_{2},
b(3)_{i} − b(2)_{i} = c(1)_{2}b(1)_{i−2} − c(1)_{i−3}b(1)_{3},

etc. Il s’en suit que tous les b(j)_{i}, j ≥ 2, sont expressibles en termes de c(1)_{p} et c(2)_{p} = b(1)_{p+2}, p ≥ 0.

1.7. Les formules (1.6.1) impliquent que les nombres b(i)_{j} satisfont aux relations quadratiques suivantes :

\begin{matrix}(b(k)_{i} − b(k − 1)_{i}) · b(1)_{j} \\ = (b(j)_{i−k+j} − b(j − 1)_{i−k+j}) · b(1)_{k} − (b(j)_{k+j−1} − b(j − 1)_{k+j−1}) · b(1)_{i−k+1} \end{matrix}

(1.7.1)

On verra que la preuve de 1.5 ne dépend que des relations (1.7.1).

On formalise la situation en introduisant une algèbre quadratique correspondante, cf. § 2 ci-dessous.

1.8. Maintenant soient

f_{1}(x) = α_{0}x^{n−1} + α_{1}x^{n−2} + …

et

f_{2}(x) = β_{0}x^{n−2} + β_{1}x^{n−3} + …

deux polynômes arbitraires de degrés n−1, n−2. On définit f_{j}, j ≥ 3 à partir de f_{1}, f_{2} par les formules de l’algorithme d’Euclide (1.1.1).

Posons

c(1)_{i} := \frac{α_{i}}{α_{0}} , b(1)_{i+2} := β_{i}, i ≥ 0 .

Définissons les nombres b(k)_{i}, k ≥ 2 par récurrence sur k, à partir des formules (1.6.1).

Définissons les nombres c(m)_{i}, m ≥ 2, par les formules 1.3.

Enfin, on pose :

γ̃_{1} = α_{0} , γ̃_{2} = 1 , γ̃_{j+1} = γ̃_{j−1} \frac{c(j − 1)^{2}}{c(j)^{2}}

Alors on a

1.9. Théorème. Supposons que deg f_{j} = n − j, d’où deg f_{i} = n − i pour i ≤ j.

Alors pour tous i ≤ j, on a c(i) ≠ 0 et

f_{i}(x) = γ̃_{i} · ∑_{p=0}^{n−i} c(i)_{p}x^{n−i−p} .

En particulier, le coefficient dominant de f_{i}(x) est égal à γ̃_{i}c(i).

Cf. [Jacobi], section 15.

1.10. Dans la Deuxième Partie on présente un exemple numérique. Là, les déterminants de Cauchy apparaissent dans les asymptotiques des coefficients dominants de la suite de Sturm pour les polynômes d’Euler.

§ 2. Algèbre 𝔅

2.1. On peut réécrire les relations (1.7.1) sous la forme suivante :

det ( \begin{matrix}b(1)_{j} & b(1)_{k} \\ b(j − 1)_{i+j−k} & b(k − 1)_{i} \end{matrix} ) − det ( \begin{matrix}b(1)_{j} & b(j − 1)_{j+k−1} \\ b(1)_{i−k+1} & b(k)_{i} \end{matrix} )

+ det ( \begin{matrix}b(1)_{k} & b(j)_{j+k−1} \\ b(1)_{i−k+1} & b(j)_{i+j−k} \end{matrix} ) = Δ(k, j)_{i} − Δ′(k, j)_{i} + Δ′′(k, j)_{i} = 0 .

(2.1.1)

2.2. On définit une algèbre quadratique 𝔅 comme une 𝔨-algèbre commutative engendrée par les lettres b(i)_{j}, i, j ∈ ℤ, modulo les relations (2.1.1), où i, j, k ∈ ℤ.

(D’ailleurs, dans tout le paragraphe qui suit on peut remplacer le corps de base 𝔨 par un anneau commutatif quelconque.)

2.3. Le but de ce paragraphe est d’écrire certaines relations entre les déterminants n × n dans 𝔅 qui généralisent (2.1.1).

On fixe un nombre entier n ≥ 2. Soient m_{1}, …, m_{n}, i des entiers.

On définit 2n + 2 vecteurs v_{j}, w_{j} ∈ 𝔨^{n}, j = 1, …, n + 1 :

w_{1} = (b(1)_{m_{1}}, b(1)_{m_{2}}, …, b(1)_{m_{n}}) ,
w_{j+1} = (b(1)_{m_{1}}, …, b̂(1)_{m_{n+1−j}}, …, b(1)_{m_{n}}, b(1)_{i−m_{n}+1}),

1 ≤ j ≤ n (suivant l’usage, x̂ signifie que l’on omet la composante x).

Puis

v_{1} = (b(m_{1}−1)_{i+m_{1}−m_{n}}, b(m_{2}−1)_{i+m_{2}−m_{n}}, …, b(m_{n−1}−1)_{i+m_{n−1}−m_{n}}, b(m_{n}−1)_{i}) ,

v_{2} = (b(m_{1}−1)_{m_{1}+m_{n}−1}, b(m_{2}−1)_{m_{2}+m_{n}−1}, …, b(m_{n−1}−1)_{m_{n−1}+m_{n}−1}, b(m_{n})_{i}) ,

v_{3} = (b(m_{1}−1)_{m_{1}+m_{n−1}−1}, b(m_{2}−1)_{m_{2}+m_{n−1}−1}, …, b(m_{n−2}−1)_{m_{n−2}+m_{n−1}−1},

b(m_{n−1})_{m_{n−1}+m_{n}−1}, b(m_{n−1})_{i+m_{n−1}−m_{n}}) ,

v_{4} = (b(m_{1}−1)_{m_{1}+m_{n−2}−1}, b(m_{2}−1)_{m_{2}+m_{n−2}−1}, …, b(m_{n−3}−1)_{m_{n−3}+m_{n−2}−1},

b(m_{n−2})_{m_{n−2}+m_{n−1}−1}, b(m_{n−2})_{m_{n−2}+m_{n}−1}, b(m_{n−2})_{i+m_{n−2}−m_{n}}) ,

…

v_{n} = (b(m_{1}−1)_{m_{1}+m_{2}−1}, b(m_{2})_{m_{2}+m_{3}−1}, b(m_{2})_{m_{2}+m_{4}−1}, …, b(m_{2})_{m_{2}+m_{n}−1}, b(m_{2})_{i+m_{2}−m_{n}})

v_{n+1} = (b(m_{1})_{m_{1}+m_{2}−1}, b(m_{1})_{m_{1}+m_{3}−1}, …, b(m_{1})_{m_{1}+m_{n}−1}, b(m_{1})_{i+m_{1}−m_{n}}) .

2.4. Soit

M = ( \begin{matrix}x_{11} & … & x_{1,n+1} \\ . & … & . \\ x_{n−2,1} & … & x_{n−2,n+1} \end{matrix} )

une matrice (n−2)×(n+1) sur 𝔅 ; soit M_{i}, i = 1, …, n+1, ses sous-matrices (n − 2) × n. Pour écrire M_{i}, on enlève donc la i-ième colonne de M.

Maintenant on va définir n + 1 matrices n × n

D_{j} = D_{j}(m_{1}, …, m_{n}; M_{n+2−j})_{i},

j = 1, …, n + 1. On pose :

D_{1} = ( \begin{matrix}w_{1} \\ M_{n+1} \\ v_{1} \end{matrix} ) , D_{j} = ( w_{j}^{t} M_{n+2−j}^{t} v_{j}^{t} ) ,

j = 2, …, n + 1. Ici (.)^{t} désigne la matrice transposée.

Enfin, on pose

Δ_{j} = Δ_{j}(m_{1}, …, m_{n}; M_{n+2−j})_{i} = det D_{j}(m_{1}, …, m_{n}; M_{n+2−j})_{i},

j = 1, …, n + 1.

Considérons la somme alternée

R(n; m_{1}, …, m_{n}; M)_{i} = ∑_{j=1}^{n+1} (−1)^{j+1}Δ_{j}(m_{1}, …, m_{n}; M_{n+2−j})_{i} .

2.5. Exemple. n = 2. Dans ce cas il n’y a pas de matrice M ; trois nombres entiers sont donnés : m_{1}, m_{2} et i. On aura 6 vecteurs :

w_{1} = (b(1)_{m_{1}}, b(1)_{m_{2}}), w_{2} = (b(1)_{m_{1}}, b(1)_{i−m_{2}+1}), w_{3} = (b(1)_{m_{2}}, b(1)_{i−m_{2}+1})

et

v_{1} = (b(m_{1} − 1)_{i+m_{1}−m_{2}}, b(m_{2} − 1)_{i}), v_{2} = (b(m_{1} − 1)_{m_{1}+m_{2}−1}, b(m_{2})_{i}),

v_{2} = (b(m_{1})_{m_{1}+m_{2}−1}, b(m_{1})_{i+m_{1}−m_{2}}) .

Il s’ensuit :

R(2; m_{1}, m_{2})_{i} = det ( \begin{matrix}b(1)_{m_{1}} & b(1)_{m_{2}} \\ b(m_{1} − 1)_{i+m_{1}−m_{2}} & b(m_{2} − 1)_{i} \end{matrix} )

LA SUITE DE STURM  637

− det ( \begin{matrix}b(1)_{m_{1}} & b(m_{1} − 1)_{m_{1}+m_{2}−1} \\ b(1)_{i−m_{2}+1} & b(m_{2})_{i} \end{matrix} ) + det ( \begin{matrix}b(1)_{m_{2}} & b(m_{1})_{m_{1}+m_{2}−1} \\ b(1)_{i−m_{2}+1} & b(m_{2})_{i+m_{1}−m_{2}} \end{matrix} )

On reconnaît là la partie gauche de (2.1.1) pour (j, k) = (m_{1}, m_{2}). Il en découle que R(2; m_{1}, m_{2})_{i} = 0.

2.6. Exemple. n = 3. Dans ce cas la matrice M se réduit à 4 éléments :

M = ( x_{1} x_{2} x_{3} x_{4} ) .

L’expression R(3; m_{1}, m_{2}, m_{3}; M)_{i} prend la forme

R(3; m_{1}, m_{2}, m_{3}; M)_{i} = det ( \begin{matrix}b(1)_{m_{1}} & b(1)_{m_{2}} & b(1)_{m_{3}} \\ x_{1} & x_{2} & x_{3} \\ b(m_{1} − 1)_{i+m_{1}−m_{3}} & b(m_{2} − 1)_{i+m_{2}−m_{3}} & b(m_{3} − 1)_{i} \end{matrix} )

− det ( \begin{matrix}b(1)_{m_{1}} & x_{1} & b(m_{1} − 1)_{m_{1}+m_{3}−1} \\ b(1)_{m_{2}} & x_{2} & b(m_{2} − 1)_{m_{2}+m_{3}−1} \\ b(1)_{i−m_{3}+1} & x_{4} & b(m_{3})_{i} \end{matrix} ) + det ( \begin{matrix}b(1)_{m_{1}} & x_{1} & b(m_{1} − 1)_{m_{1}+m_{2}−1} \\ b(1)_{m_{3}} & x_{3} & b(m_{2})_{m_{2}+m_{3}−1} \\ b(1)_{i−m_{3}+1} & x_{4} & b(m_{2})_{i+m_{2}−m_{3}} \end{matrix} )

− det ( \begin{matrix}b(1)_{m_{2}} & x_{2} & b(m_{1})_{m_{1}+m_{2}−1} \\ b(1)_{m_{3}} & x_{3} & b(m_{1})_{m_{1}+m_{3}−1} \\ b(1)_{i−m_{3}+1} & x_{4} & b(m_{1})_{i+m_{1}−m_{3}} \end{matrix} ) .

Calculons cette expression.

On développe le premier déterminant suivant la deuxième ligne et les autres suivant les deuxièmes colonnes : Δ_{1}(3; m_{1}, m_{2}, m_{3}; M_{4})_{i} = −x_{1}Δ_{1}(2; m_{2}, m_{3})_{i}+x_{2}Δ_{1}(2; m_{1}, m_{3})_{i}−x_{3}Δ_{1}(2; m_{1}, m_{2})_{i+m_{2}−m_{3}} , Δ_{2}(3; m_{1}, m_{2}, m_{3}; M_{3})_{i} = −x_{1}Δ_{2}(2; m_{2}, m_{3})_{i}+x_{2}Δ_{2}(2; m_{1}, m_{3})_{i}−x_{4}Δ_{1}(2; m_{1}, m_{3})_{m_{2}+m_{3}−1} . Puis Δ_{3}(3; m_{1}, m_{2}, m_{3}; M_{2})_{i} = −x_{1}Δ_{3}(2; m_{2}, m_{3})_{i}+x_{3}Δ_{2}(2; m_{1}, m_{2})_{i+m_{2}−m_{3}}−x_{4}Δ_{2}(2; m_{1}, m_{3})_{m_{2}+m_{3}−1} et Δ_{4}(3; m_{1}, m_{2}, m_{3}; M_{1})_{i} = −x_{2}Δ_{3}(2; m_{1}, m_{3})_{i}+x_{3}Δ_{3}(2; m_{1}, m_{2})_{i+m_{2}−m_{3}}−x_{4}Δ_{3}(2; m_{1}, m_{3})_{m_{2}+m_{3}−1} . Pour abréger les notations on introduit des vecteurs entiers :

(i_{1}, i_{2}, i_{3}, i_{4}) := (i, i, i + m_{2} − m_{3}, m_{2} + m_{3} − 1) ,

μ = (m_{1}, m_{2}, m_{3}) ,
μ_{1} = (m_{2}, m_{3}), μ_{2} = (m_{1}, m_{3}), μ_{3} = (m_{1}, m_{2}) .

On peut réécire les formules ci-desssus sous une forme matricielle :

( \begin{matrix}Δ_{1}(3; μ; M_{4})_{i} \\ −Δ_{2}(3; μ; M_{3})_{i} \\ Δ_{3}(3; μ; M_{2})_{i} \\ −Δ_{4}(3; μ; M_{1})_{i} \end{matrix} ) = ( \begin{matrix}−Δ_{1}(2; μ_{1})_{i_{1}} & Δ_{1}(2; μ_{2})_{i_{2}} & −Δ_{1}(2; μ_{3})_{i_{3}} & 0 \\ Δ_{2}(2; μ_{1})_{i_{1}} & −Δ_{2}(2; μ_{2})_{i_{2}} & 0 & Δ_{1}(2; μ_{2})_{i_{4}} \\ −Δ_{3}(2; μ_{1})_{i_{1}} & 0 & Δ_{2}(2; μ_{3})_{i_{3}} & −Δ_{2}(2; μ_{2})_{i_{4}} \\ 0 & Δ_{3}(2; μ_{2})_{i_{2}} & −Δ_{3}(2; μ_{3})_{i_{3}} & Δ_{3}(2; μ_{2})_{i_{4}} \end{matrix} )·( \begin{matrix}x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix} ) .

En rajoutant :

R(3; m_{1}, m_{2}, m_{3}; M)_{i} = −x_{1} · {Δ_{1}(2; μ_{1})_{i_{1}} − Δ_{2}(2; μ_{1})_{i_{1}} + Δ_{3}(2; μ_{1})_{i_{1}}}

+x_{2} · {Δ_{1}(2; μ_{2})_{i_{2}} − Δ_{2}(2; μ_{2})_{i_{2}} + Δ_{3}(2; μ_{2})_{i_{2}}} − x_{3} · {Δ_{1}(2; μ_{3})_{i_{3}} − Δ_{2}(2; μ_{3})_{i_{3}} + Δ_{3}(2; μ_{3})_{i_{3}}}

+x_{4} · {Δ_{1}(2; μ_{2})_{i_{4}} − Δ_{2}(2; μ_{2})_{i_{4}} + Δ_{3}(2; μ_{2})_{i_{4}}} = 0 .

Le théorème ci-dessous généralise ces exemples.

2.7. Théorème. On a

R(n; m_{1}, …, m_{n}; M)_{i} = 0

pour tous n, m_{1}, …, m_{n}, M et i.

Démonstration : elle se fait par récurrence sur n. Le cas n = 2 est l’exemple 2.5.

Le passage de n − 1 à n suit l’exemple 2.6.

Posons pour abréger

μ = (m_{1}, …, m_{n}) .

À partir de cela, on introduit n + 1 vecteurs μ_{j} ∈ ℤ^{n−1} :

μ_{j} := (m_{1}, …, m̂_{j}, …, m_{n}),

j = 1, …, n, et

μ_{n+1} := (m_{1}, …, m̂_{n−1}, m_{n}) = μ_{n−1} .

On définit le vecteur

(i_{1}, i_{2}, …, i_{n+1}) := (\underbrace{i, i, …, i}_{n−1 fois}, i + m_{n−1} − m_{n}, m_{n−1} + m_{n} − 1) ∈ ℤ^{n+1} .

En développant les déterminants Δ_{j}(n; μ, M_{n+2−j})_{i}, 2 ≤ j ≤ n + 1 suivant la deuxième colonne et le déterminant Δ_{1}(n; μ, M_{n+1})_{i} suivant la deuxième ligne, on obtient :

R(n; μ; M)_{i} = ∑_{j=1}^{n+1} (−1)^{j}x_{j}R(n − 1; μ_{j}; M_{1j})_{i_{j}} .

Ici M_{1j} est la matrice obtenue en enlevant la première ligne et la j-ième colonne de la matrice M.

LA SUITE DE STURM  639

Notre assertion en découle immédiatement par récurrence sur n.

2.8. On aura besoin d’un cas particulier de ces relations. Prenons

μ = (m_{1}, m_{2}, …, m_{n}) = (2, 3, …, n + 1) .

Pour la matrice M, prenons

M = ( \begin{matrix}b(1)_{3} & b(2)_{4} & b(2)_{5} & ... & b(2)_{n+2} & b(2)_{i+n+1} \\ b(1)_{4} & b(2)_{5} & b(3)_{5} & ... & b(3)_{n+3} & b(3)_{i+n+2} \\ . & . & . & . & . & . \\ b(1)_{n} & b(2)_{n+1} & b(3)_{n+2} & … & b(n − 1)_{2n−1} & b(n − 1)_{i+2n−2} \end{matrix} ) .

Alors le premier déterminant

Δ_{1}(n; μ; M_{n+1})_{i+2n} = c(n + 1)_{i} .

On pose par définition :

c(n + 1)′_{i} := Δ_{2}(n; μ; M_{n})_{i+2n} ,
c(n + 1)′′_{i} := Δ_{3}(n; μ; M_{n−1})_{i+2n} .

Par contre, si j ≥ 4 on voit que dans le déterminant Δ_{j}(n; μ; M_{n+2−j})_{i+2n} la dernière colonne est égale à la (n − j + 3)-ième colonne, d’où Δ_{4}(n; μ; M_{n−2})_{i+2n} = Δ_{5}(n; μ; M_{n−3})_{i+2n} = … = Δ_{n+1}(n; μ; M_{1})_{i+2n} = 0 . Donc 2.7 entraîne

2.9. Corollaire. Pour tous n ≥ 3 c(n)_{i} − c(n)′_{i} + c(n)′′_{i} = 0 .

§ 3. Début de la démonstration du théorème 1.5

3.1. On a

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0} .

La dérivée :

\begin{matrix}f_{1}(x) = f′(x) = na_{n}x^{n−1} + (n − 1)a_{n−1}x^{n−2} + … + a_{1} = na_{n}\{x^{n−1} + \frac{(n−1)a_{n−1}}{na_{n}} x^{n−2} + … + \frac{a_{1}}{na_{n}} \} \\ = γ_{1}(c(1)_{0}x^{n−1} + c(1)_{1}x^{n−2} + … + c(1)_{n−1}) . \end{matrix}

3.2. Le quotient de la division euclidienne de deux polynômes f(x) et g(x) = a′_{n−1}x^{n−1} + a′_{n−2}x^{n−2} + … est égal à

640  Oleg Ogievetsky et Vadim Schechtman
\frac{a_{n}}{a′_{n−1}} x + \frac{a′_{n−1}a_{n−1}−a′_{n−2}a_{n}}{(a′_{n−1})^{2}} .

On fait la division euclidienne :

\begin{matrix}f − (x/n + a_{n−1}/n^{2}a_{n})f′ = \frac{2na_{n}a_{n−2}−(n−1)a_{n−1}^{2}}{n^{2}a_{n}} x^{n−2} + \frac{3na_{n}a_{n−3}−(n−2)a_{n−1}a_{n−2}}{n^{2}a_{n}} x^{n−3} + … \\ = \frac{1}{n^{2}a_{n}} · (b(1)_{2}x^{n−2} + b(1)_{3}x^{n−3} + … + b(1)_{n}) = −γ_{2} · (c(2)_{0}x^{n−2} + c(2)_{1}x^{n−3} + … c(2)_{n−2}) . \end{matrix}

Donc

f_{2}(x) = γ_{2} · ∑_{i=0}^{n−2} c(2)_{i}x^{n−2−i} .

Cela démontre l’assertion 1.5 pour j = 1, 2, et l’on procède par récurrence par j.

3.3. On suppose que l’on a déjà trouvé : f_{j−1}(x) = γ_{j−1} ·[c(j −1)x^{n−j+1} +c(j −1)_{1}x^{n−j} +…+c(j −1)_{i}x^{n−j+1−i} +…] et

f_{j}(x) = γ_{j} · [c(j)x^{n−j} + c(j)_{1}x^{n−j−1} + … + c(j)_{i}x^{n−j−i} + …] .

On fait la division euclidienne :

f_{j−1}(x) − (\frac{γ_{j−1}c(j − 1)}{γ_{j}c(j)}x + γ_{j−1}[c(j − 1)_{1} − \frac{c(j − 1)}{c(j)} · c(j)_{1}] · \frac{1}{γ_{j}c(j)})f_{j}(x) =

= ∑_{i=2}^{n−j+1} γ_{j−1}\{c(j−1)_{i}−\frac{c(j − 1)}{c(j)}·c(j)_{i}−[c(j−1)_{1}−\frac{c(j − 1)}{c(j)}·c(j)_{1}]·\frac{c(j)_{i−1}}{c(j)} \}·x^{n−j+1−i} =

= \frac{γ_{j−1}}{c(j)^{2}} ∑_{i=2}^{n−j+1} \{c(j−1)_{i}c(j)^{2}−c(j−1)c(j)c(j)_{i}−c(j−1)_{1}c(j)_{i−1}c(j)+c(j−1)c(j)_{1}c(j)_{i−1}\}·x^{n−j+1−i} .

On pose : Q(j)_{i} := c(j−1)_{i}c(j)^{2}−c(j−1)c(j)c(j)_{i}−c(j−1)_{1}c(j)_{i−1}c(j)+c(j−1)c(j)_{1}c(j)_{i−1}

(3.3.1)

Alors on a :

f_{j+1}(x) = −\frac{γ_{j−1}}{c(j)^{2}} ∑_{i=2}^{n−j+1} Q(j)_{i}x^{n−j+1−i}

Il faut montrer que

f_{j+1}(x) = γ_{j+1} ∑_{i=0}^{n−j−1} c(j + 1)_{i}x^{n−j−1−i} = γ_{j+1} ∑_{i=0}^{n−j+1} c(j + 1)_{i−2}x^{n−j+1−i}

où

γ_{j+1} = γ_{j−1} · \frac{c(j − 1)^{2}}{c(j)^{2}} .

Donc notre théorème est équivalent à l’identité suivante :

Q(j)_{i} = −c(j)^{2}c(j + 1)_{i} .  (3.3.2)

§ 4. Formule (A)

4.1. Revenons à notre algèbre 𝔅.

On considère la matrice n × n

C(n + 1)_{i−2} = ( \begin{matrix}b(1)_{2} & b(1)_{3} & … & b(1)_{n} & b(1)_{n+1} \\ b(1)_{3} & b(2)_{4} & … & b(2)_{n+1} & b(2)_{n+2} \\ . & . & … & . & . \\ b(1)_{n} & b(2)_{n+1} & … & b(n − 1)_{2n−2} & b(n − 1)_{2n−1} \\ b(1)_{n+i−1} & b(2)_{n+i} & … & b(n − 1)_{2n+i−3} & b(n)_{2n+i−2} \end{matrix} ) .

Donc c(n + 1)_{i−2} = det C(n + 1)_{i−2}.

Si l’on désigne par C(n + 1)_{i−2;p̂,q̂} la matrice C(n + 1)_{i−2} avec la p-ième ligne et la q-ième colonne enlevée, on aura :

c(n) = det C(n + 1)_{i−2;n̂,n̂} ,
c(n)_{i−1} = det C(n + 1)_{i−2;n̂−1,n̂} .

En plus, on a :

c(n)′′_{i} = det C(n + 1)_{i−2;n̂−2,n̂}

où c(n)′′_{i} a été introduit dans 2.9.

4.2. Théorème. Pour tous n, i ∈ ℤ, n ≥ 3, on a la relation suivante dans 𝔅

c(n−1)_{i}c(n)^{2} −c(n−1)c(n)c(n)_{i} −c(n−1)_{1}c(n)_{i−1}c(n)+c(n−1)c(n)_{1}c(n)_{i−1}

= −c(n − 1)^{2}c(n + 1)_{i−2}  (F)

On a vu que notre théorème principal 1.5 est une conséquence de (F) : en effet (F) coïncide avec la formule (3.3.2) (avec j remplacé par n).

À son tour, (F) est une conséquence immédiate de deux formules :

c(n − 1)_{i}c(n) − c(n − 1)_{1}c(n)_{i−1} = −c(n − 1)c(n)′′_{i}  (A)

ou bien

c(n − 1)_{i}c(n) − c(n − 1)_{1}c(n)_{i−1} + c(n − 1)c(n)′′_{i} = 0  (A′)

et

{c(n)_{i} + c(n)′′_{i}} · c(n) − c(n)_{1}c(n)_{i−1} = c(n − 1)c(n + 1)_{i−2} .  (B)

La démonstration de (B) utilise les relations quadratiques entre les lettres b(i)_{j}. Par contre, (A) est ”élémentaire”, en ce sens que cette identité n’utilise pas de relations entre les lettres b(i)_{j}.

Pour démontrer (A), on applique le lemme suivant (une variante des relations de Plücker) :

4.3. Lemme. (A_{n}) Considérons n vecteurs de dimension n − 1, w_{i} = (w_{i1}, …, w_{i,n−1}), i = 1, …, n. À partir d’eux, on définit n vecteurs de dimension n − 2 : v_{i} = (w_{i1}, …, w_{i,n−2}). On pose :

W_{i} = det(w_{1}, …, ŵ_{i}, …, w_{n})^{t} ,
V_{ij} := det(v_{1}, …, v̂_{i}, …, v̂_{j}, …, v_{n})^{t} .

Alors

V_{n−2,n−1} · W_{n} − V_{n−2,n} · W_{n−1} + V_{n−1,n} · W_{n−2} = 0 .

(B_{n}) Considérons n vecteurs de dimension n−2, v_{i} = (v_{i1}, …, v_{i,n−2}), i = 1, …, n. Considérons les mineurs

V_{ij} := det(v_{1}, …, v̂_{i}, …, v̂_{j}, …, v_{n})^{t} .

Alors pour chaque i < n − 2,

V_{n−2,n−1} · V_{i,n} − V_{n−2,n} · V_{i,n−1} + V_{n−1,n} · V_{i,n−2} = 0 .

En effet, en développant W_{i} par rapport à la dernière colonne, on obtient : (B_{n}) ⇒ (A_{n}).

Par contre, pour vérifier (B_{n}), considérons la matrice (n − 1) × (n − 2), W^{∼} = V_{i}. Alors on aura V_{ij} = W_{j}^{∼}, j = n, n − 1, n − 2. D’un autre côté, en développant les mineurs dans (B_{n}) : V_{pq}, n − 2 ≤ p < q ≤ n par rapport à la i-ième ligne, on obtient les mineurs V_{pq}^{∼}, où V^{∼} est obtenue de W^{∼} en enlevant la dernière colonne. On vérifie que (B_{n}) se réduit à (A_{n−1}) correspondant à W^{∼}.

Il s’ensuit que (A_{n−1}) ⇒ (B_{n}) et on conclut par récurrence.

4.4. Le lemme étant vérifié, l’assertion 4.2 (A) est 4.3 (A_{n}) pour la matrice W égale à c(n + 1)_{i−2} avec la dernière colonne enlevée.

§ 5. Formule (B)

5.1. Maintenant on s’occupe de la formule

P := {c(n)_{i} + c(n)′′_{i}} · c(n) − c(n)_{1}c(n)_{i−1} = c(n − 1)c(n + 1)_{i−2} . (B)

On introduit n vecteurs de dimension n − 1, w_{1}, …, w_{n} qui sont les lignes de la matrice c(n + 1)_{i−2} sans la dernière colonne :

W = ( \begin{matrix}b(1)_{2} & b(1)_{3} & … & b(1)_{n−1} & b(1)_{n} \\ b(1)_{3} & b(2)_{4} & … & b(2)_{n} & b(2)_{n+1} \\ . & . & … & . & . \\ b(1)_{n−1} & b(2)_{n} & … & b(n − 2)_{2n−4} & b(n − 2)_{2n−3} \\ b(1)_{n} & b(2)_{n+1} & … & b(n − 2)_{2n−3} & b(n − 1)_{2n−2} \\ b(1)_{n+i−1} & b(2)_{n+i} & … & b(n − 2)_{2n+i−4} & b(n − 1)_{2n+i−3} \end{matrix} )

et n mineurs

W_{i} = det(w_{1}, …, ŵ_{i}, …, w_{n})^{t}, i = 1, …, n .

Par exemple, W_{n} = c(n), W_{n−1} = c(n)_{i−1}, W_{n−2} = c(n)′′_{i}. Donc,

\begin{matrix}c(n + 1)_{i−2} = b(n)_{2n+i−2}W_{n} − b(n − 1)_{2n−1}W_{n−1} \\ +b(n − 2)_{2n−2}W_{n−2} − … + (−1)^{n−1}b(1)_{n+1}W_{1} \\ = b(n)_{2n+i−2}W_{n} − b(n − 1)_{2n−1}W_{n−1} + R \end{matrix}  (5.1.1)

où

R = b(n−2)_{2n−2}W_{n−2}−b(n−3)_{2n−3}W_{n−3}+…+(−1)^{n−1}b(1)_{n+1}W_{1} . (5.1.2)

5.2. On a n − 1 relations linéaires entre les W_{i} : la i-ième est obtenue en ajoutant à W sa i-ième colonne et en développant le déterminant = 0 par rapport à la dernière colonne.

Explicitement :

b(n−1)_{2n+i−3}W_{n}−b(n−1)_{2n−2}W_{n−1}+b(n−2)_{2n−3}W_{n−2}−…+(−1)^{n−1}b(1)_{n}W_{1} = 0 ,

b(n−2)_{2n+i−4}W_{n}−b(n−2)_{2n−3}W_{n−1}+b(n−2)_{2n−4}W_{n−2}−…+(−1)^{n−1}b(1)_{n−1}W_{1} = 0 ,

…

b(2)_{n+i}W_{n}−b(2)_{n+1}W_{n−1}+b(2)_{n}W_{n−2}−…+(−1)^{n−2}b(2)_{4}W_{2}+(−1)^{n−1}b(1)_{3}W_{1} = 0 ,

b(1)_{n+i−1}W_{n}−b(1)_{n}W_{n−1}+b(1)_{n−1}W_{n−2}−…+(−1)^{n−2}b(1)_{3}W_{2}+(−1)^{n−1}b(1)_{2}W_{1} = 0 .

5.3. D’autre part, rappelons la matrice c(n)_{1} :

c(n)_{1} = det ( \begin{matrix}b(1)_{2} & b(1)_{3} & … & b(1)_{n−1} & b(1)_{n} \\ b(1)_{3} & b(2)_{4} & … & b(2)_{n} & b(2)_{n+1} \\ . & . & … & . & . \\ b(1)_{n−1} & b(2)_{n} & … & b(n − 2)_{2n−4} & b(n − 2)_{2n−3} \\ b(1)_{n+1} & b(2)_{n+2} & … & b(n − 2)_{2n−2} & b(n − 1)_{2n−1} \end{matrix} ) .

On développe cette quantité par rapport à la dernière colonne :

c(n)_{1} = b(n−1)_{2n−1}c(n−1)−b(n−2)_{2n−3}M_{n−2}+…+(−1)^{n−1}b(2)_{n+1}M_{2}+(−1)^{n}b(1)_{n}M_{1} .

644  Oleg Ogievetsky et Vadim Schechtman

Après la multiplication par −c(n)_{i−1} = −W_{n−1} on obtient :

−c(n)_{1}c(n)_{i−1} = −b(n − 1)_{2n−1}c(n − 1)W_{n−1} (∗) + R′

où

R′ = b(n − 2)_{2n−3}W_{n−1}M_{n−2} − b(n − 3)_{2n−4}W_{n−1}M_{n−3} + …

+(−1)^{n}b(2)_{n+1}W_{n−1}M_{2} + (−1)^{n−1}b(1)_{n}W_{n−1}M_{1} .

5.4. Maintenant remplaçons dans R′ les termes (−1)^{i}b(n − i)_{2n−i−1}W_{n−1} en utilisant les relations 5.2 : b(n−2)_{2n−3}W_{n−1} = b(n−2)_{2n+i−4}W_{n}+b(n−2)_{2n−4}W_{n−2}−…+(−1)^{n−1}b(1)_{n−1}W_{1} ,

…

b(2)_{n+1}W_{n−1} = b(2)_{n+i}W_{n}+b(2)_{n}W_{n−2}−…+(−1)^{n−2}b(2)_{4}W_{2}+(−1)^{n−1}b(1)_{3}W_{1} , b(1)_{n}W_{n−1} = b(1)_{n+i−1}W_{n}+b(1)_{n−1}W_{n−2}−…+(−1)^{n−2}b(1)_{3}W_{2}+(−1)^{n−1}b(1)_{2}W_{1} . Alors on obtient :

−c(n)_{1}c(n)_{i−1} = −b(n − 1)_{2n−1}c(n − 1)W_{n−1} (∗)

+{b(n−2)_{2n+i−4}M_{n−2}−…+(−1)^{n}b(2)_{n+i}M_{2}+(−1)^{n+1}b(1)_{n+i−1}M_{1}}·c(n)+R′′, où :

R′′ = {b(n − 2)_{2n−4}W_{n−2} − … + (−1)^{n−1}b(1)_{n−1}W_{1}} · M_{n−2} − …

+(−1)^{n} · {b(2)_{n}W_{n−2} − … + (−1)^{n−2}b(2)_{4}W_{2} + (−1)^{n−1}b(1)_{3}W_{1}} · M_{2}

+(−1)^{n−1} · {b(1)_{n−1}W_{n−2} − … + (−1)^{n−2}b(1)_{3}W_{2} + (−1)^{n−1}b(1)_{2}W_{1}} · M_{1} .

5.5. Lemme. R′′ = c(n − 1)R.

Démonstration. On introduit les vecteurs de dimension n − 2 : W = ((−1)^{n+1}W_{1}, (−1)^{n+2}W_{2}, …, W_{n−2}) ,

M = ((−1)^{n+1}M_{1}, (−1)^{n+2}M_{2}, …, M_{n−2})

et

b = (b(1)_{n+1}, b(1)_{n+2}, …, b(1)_{2n−2}) .

Alors la définition de R′′ se récrit :

R′′ = M · C(n − 1) · W^{t}  (5.5.1)

(où c(n − 1) = det C(n − 1), la matrice C(n − 2) étant symétrique) ; de plus,

R = b · W^{t} .

Maintenant développons les quantités M_{i} par rapport à la dernière ligne :

M_{i} = b(1)_{2n−2}M_{i,n−2}−b(1)_{2n−3}M_{i,n−3}+…+(−1)^{n+2}b(1)_{n+2}M_{i2}+(−1)^{n+1}b(1)_{n+1}M_{i1}

= ∑_{j=1}^{n−2} (−1)^{n+j}b(1)_{n+j}M_{ij}, i = 1, …, n − 2 .

On remarque que les quantités M_{ij} sont les mineurs de la matrice (n − 2) × (n − 2) C(n − 1). Il vient :

M = b · Ĉ(n − 1)

où

Ĉ(n − 1) = ((−1)^{i+j}M_{ij}),

donc Ĉ(n − 1) · C(n − 1) = c(n − 1). En substituant dans (5.5.1) :

R′′ = b · Ĉ(n − 1) · C(n − 1) · W^{t} = c(n − 1) · b · W^{t} = c(n − 1)R,

cqfd.

5.6. Il s’ensuit que pour vérifier l’identité (B) il reste à démontrer que

\begin{matrix}c(n)_{i} + c(n)′′_{i} + b(n − 2)_{2n+i−4}M_{n−2} − … \\ +(−1)^{n}b(2)_{n+i}M_{2} + (−1)^{n+1}b(1)_{n+i−1}M_{1} = b(n)_{2n+i−2}c(n − 1) . \end{matrix}

(5.6.1)

Par contre, la quantité

b(n)_{2n+i−2}c(n−1)−b(n−2)_{2n+i−4}M_{n−2}+…+(−1)^{n+1}b(2)_{n+i}M_{2}+(−1)^{n}b(1)_{n+i−1}M_{1}

n’est autre que le développement de c(n)′_{i} suivant la dernière colonne, donc (5.6.1) est équivalent à

c(n)_{i} + c(n)′′_{i} = c(n)′_{i}  (5.6.2)

qui a été déjà prouvée, cf. Corollaire 2.9.

Ceci achève la démonstration du théorème 4.2, et donc du 1.5.

5.7. Démonstration du théorème 1.9. En fait, nous l’avons déjà montré : la démonstration de la récurrence principale (3.3.2) n’utilise que les relations dans l’algèbre 𝔅.

Ces relations sont vérifiées si l’on définit les variables b(i)_{j} à partir de coefficients de polynômes f_{1}(x) et f_{2}(x) comme dans 1.8, d’où l’assertion.

646  Oleg Ogievetsky et Vadim Schechtman

DEUXIÈME PARTIE POLYNÔMES D’EULER ET DÉTERMINANT DE CAUCHY § 1. Nombres β(j)_{i}

1.1. Rappelons que pour un polynôme

f(x) = a_{n}x^{n} + a_{n−1}x^{n−1} + … + a_{0}

les nombres b(j)_{i} sont définis par

b(j)_{i} = n ∑_{p=0}^{j−1} (i − 2p)a_{n−p}a_{n−i+p} − j(n − i + j)a_{n−j}a_{n+j−i} .

On introduit les quantités :

q_{i} := \frac{a_{i−1}}{a_{i}} ,

r_{i} := \frac{q_{i−1}}{q_{i}} = \frac{a_{i}a_{i−2}}{a_{i−1}^{2}} ,

puis

β(j)_{i} := \frac{b(j)_{i}}{(n − i + j)a_{n−j}a_{n+j−i}} = ∑_{p=0}^{j−1} \frac{n(i − 2p)}{n − i + j} · \frac{a_{n−p}a_{n+p−i}}{a_{n−j}a_{n+j−i}} − j .

1.2. Par exemple :

β(1)_{2} = \frac{2n}{n − 1} · \frac{a_{n}a_{n−2}}{a_{n−1}^{2}} − 1 = \frac{2n}{n − 1} · r_{n} − 1 ,

β(1)_{i} = \frac{ni}{n − i + 1} · \frac{a_{n}a_{n−i}}{a_{n−1}a_{n−i+1}} − 1 .

On remarque que

\frac{a_{n}a_{n−i}}{a_{n−1}a_{n−i+1}} = \frac{q_{n−i+1}}{q_{n}} = r_{n−i+2}r_{n−i+1} … r_{n} .

On définit les quantités

ψ(i, j) := ∏_{p=i}^{j} r_{p}

LA SUITE DE STURM  647

(donc ψ(i, j) = 1 si i > j). Il s’ensuit :

β(1)_{i} = \frac{ni}{n − i + 1} · ψ(n − i + 2, n) − 1 .

1.3. De même :

\frac{a_{n}a_{n−i}}{a_{n−2}a_{n−i+2}} = \frac{a_{n}a_{n−i}}{a_{n−1}a_{n−i+1}} · \frac{a_{n−1}a_{n−i+1}}{a_{n−2}a_{n−i+2}} = ψ(n − i + 2, n)ψ(n − i + 3, n − 1) .

Par exemple :

\frac{a_{n}a_{n−4}}{a_{n−2}^{2}} = ψ(n − 2, n)ψ(n − 1, n − 1) = r_{n−2}r_{n−1}^{2}r_{n} .

Il en découle :

β(2)_{4} = \frac{4n}{n − 2} \frac{a_{n}a_{n−4}}{a_{n−2}^{2}} +\frac{2n}{n − 2} \frac{a_{n−1}a_{n−3}}{a_{n−2}^{2}} −2 = \frac{4n}{n − 2}r_{n−2}r_{n−1}^{2}r_{n}+\frac{2n}{n − 2}r_{n−1}−2 ,

β(2)_{i} = \frac{ni}{n − i + 2} \frac{a_{n}a_{n−i}}{a_{n−2}a_{n−i+2}} + \frac{n(i − 2)}{n − i + 2} \frac{a_{n−1}a_{n−i+1}}{a_{n−2}a_{n−i+2}} − 2

= \frac{ni}{n − i + 2}ψ(n−i+2, n)ψ(n−i+3, n−1)+ \frac{n(i − 2)}{n − i + 2}ψ(n−i+3, n−1)−2 .

1.4. Un autre exemple :

\frac{a_{n}a_{n−6}}{a_{n−3}^{2}} = ψ(n − 4, n)ψ(n − 3, n − 1)ψ(n − 2, n − 2) = r_{n−4}r_{n−3}^{2}r_{n−2}^{3}r_{n−1}^{2}r_{n} .

1.5. En général on pose :

ϕ(n, j, i) := \frac{a_{n}a_{n−i}}{a_{n−j}a_{n−i+j}} = ∏_{q=0}^{j−1} ψ(n − i + j + q, n − q)

et l’on aura :

β(j)_{i} = ∑_{p=0}^{j−1} \frac{n(i − 2p)}{n − i + j} · ϕ(n − p, j − p, i − p) − j .

1.6. Passons maintenant aux déterminants c(n). On commence par un exemple :

c(4) = det ( \begin{matrix}b(1)_{2} & b(1)_{3} & b(1)_{4} \\ b(1)_{3} & b(2)_{4} & b(2)_{5} \\ b(1)_{4} & b(2)_{5} & b(3)_{6} \end{matrix} )

648  Oleg Ogievetsky et Vadim Schechtman

= det ( \begin{matrix}(n − 1)a_{n−1}^{2}β(1)_{2} & (n − 2)a_{n−1}a_{n−2}β(1)_{3} & (n − 3)a_{n−1}a_{n−3}β(1)_{4} \\ (n − 2)a_{n−1}a_{n−2}β(1)_{3} & (n − 2)a_{n−2}^{2}β(2)_{4} & (n − 3)a_{n−2}a_{n−3}β(2)_{5} \\ (n − 3)a_{n−1}a_{n−3}β(1)_{4} & (n − 3)a_{n−2}a_{n−3}β(2)_{5} & (n − 3)a_{n−3}^{2}β(3)_{6} \end{matrix} )

= (a_{n−1}a_{n−2}a_{n−3})^{2} · det ( \begin{matrix}(n − 1)β(1)_{2} & (n − 2)β(1)_{3} & (n − 3)β(1)_{4} \\ (n − 2)β(1)_{3} & (n − 2)β(2)_{4} & (n − 3)β(2)_{5} \\ (n − 3)β(1)_{4} & (n − 3)β(2)_{5} & (n − 3)β(3)_{6} \end{matrix} ) .

1.7. En général

c(m + 1) = (∏_{i=1}^{m} a_{n−i})^{2}×

× det ( \begin{matrix}(n − 1)β(1)_{2} & (n − 2)β(1)_{3} & … & (n − m)β(1)_{m+1} \\ (n − 2)β(1)_{3} & (n − 2)β(2)_{4} & … & (n − m)β(2)_{m+2} \\ . & . & … & . \\ (n − m)β(1)_{m+1} & (n − m)β(2)_{m+2} & … & (n − m)β(m)_{2m} \end{matrix} ) .

§ 2. Polynômes d’Euler et fonction hypergéométrique 2.1. Suivant [Euler], on définit les polynômes

E_{n}(x) = \frac{1}{2}\{(1 + ix/2n)^{2n} + (1 − ix/2n)^{2n}\} .  (2.1.1)

Donc, E_{n}(x) est un polynôme de degré 2n, avec le terme constant 1, ne contenant que des puissances paires de x. Plus précisément,

E_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k} (\begin{matrix}2n \\ 2k \end{matrix}) \frac{x^{2k}}{(2n)^{2k}} .  (2.1.2)

Par exemple :

E_{1}(x) = 1 − \frac{1}{4}x^{2} ,

E_{2}(x) = 1 − \frac{3}{8}x^{2} + \frac{1}{256}x^{4} ,

E_{3}(x) = 1 − \frac{5}{12}x^{2} + \frac{5}{432}x^{4} − \frac{1}{46656}x^{6} ,

E_{4}(x) = 1 − \frac{7}{16}x^{2} + \frac{35}{2048}x^{4} − \frac{7}{65536}x^{6} + \frac{1}{16777216}x^{8} .

2.2. Rappelons que la fonction hypergéométrique de Gauß est définie par

LA SUITE DE STURM  649

F (α, β, γ, x) = 1+\frac{αβ}{1 · γ} x+\frac{α(α + 1)β(β + 1)}{1 · 2 · γ(γ + 1)}x^{2}+\frac{α(α + 1)(α + 2)β(β + 1)(β + 2)}{1 · 2 · 3 · γ(γ + 1)(γ + 2)}x^{3}+…

= ∑_{i=0}^{∞} c_{i}(α, β, γ)x^{i},

où

c_{i}(α, β, γ) = \frac{α(α + 1) … (α + i − 1) · β(β + 1) … (β + i − 1)}{i! · γ(γ + 1) … (γ + i − 1)},

cf. [Gauß]. Il s’ensuit :

c_{i}(−n/2, −n/2 + 1/2, 1/2)

= \frac{(−n/2)(−n/2 + 1) … (−n/2 + i − 1) · (−n/2 + 1/2)(−n/2 + 3/2) … (−n/2 + i − 1/2)}{i! · (1/2)(1/2 + 1) … (1/2 + i − 1)}

= \frac{(−1)^{i}2^{−i}n(n − 2) … (n − 2i + 2) · (−1)^{i}2^{−i}(n − 1)(n − 3) … (n − 2i + 1)}{i! · 2^{−i} · 1 · 3 · 5 … (2i − 1)}

= \frac{2^{−i} · n(n − 1)(n − 2) … (n − 2i + 1)}{2^{−i} · 2 · 4 … 2i · 1 · 3 · 5 … (2i − 1)} = (\begin{matrix}n \\ 2i \end{matrix}) .

Donc

F (−n/2, −n/2 + 1/2, 1/2, x^{2}) = ∑_{i=0}^{[n/2]} (\begin{matrix}n \\ 2i \end{matrix}) x^{2i} = \frac{1}{2}\{(1 + x)^{n} + (1 − x)^{n}\} .

(2.2.1)

Il en découle :

t^{n}F (−n/2, −n/2 + 1/2, 1/2, u^{2}/t^{2}) = \frac{1}{2}\{(t + u)^{n} + (t − u)^{n}\},  (2.2.2)

cf. [Gauß], no. 5, formula II.

2.3. La formule (2.2.1) implique :

E_{n}(x) = F (−n, −n + 1/2, 1/2, −x^{2}/4n^{2}) .  (2.3.1)

2.4. Si l’on écrit

E_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} e_{nk}t^{2k}, e_{nk} := (−1)^{k} (\begin{matrix}2n \\ 2k \end{matrix}) \frac{1}{(2n)^{2k}}

alors

e_{nk} = (−1)^{k} \frac{2n(2n − 1) … (2n − 2k + 1)}{(2k)!(2n)^{2k}} = \frac{(−1)^{k}}{(2k)!} ·1·(1−\frac{1}{2n})(1−\frac{2}{2n}) … (1−\frac{2k − 1}{2n}),

d’où

lim_{n→∞} e_{nk} = \frac{(−1)^{k}}{(2k)!} ,

i.e.

lim_{n→∞} E_{n}(x) = ∑_{k=0}^{∞} \frac{(−1)^{k}}{(2k)!} x^{2k} = cos x,

comme il faut. En d’autres termes,

lim_{n→∞} F (−n, −n + 1/2, 1/2, −x^{2}/4n^{2}) = cos x,

ou, comme aurait pu écrire Gauß,

F (−k, k + 1/2, 1/2, −x^{2}/4k^{2}) = cos x,

k étant ”un nombre infiniment grand” (denotante k numerum infinite magnum). En fait, Gauß écrivit

F (k, k′, 1/2, −x^{2}/4kk′) = cos x,

denotante k, k′ numeros infinite magnos, cf. [Gauß], no. 5, formula XII.

§ 3. Asymptotiques

3.1. On pose :

f_{n}(x) = ∑_{k=0}^{n} (−1)^{k} (\begin{matrix}2n \\ 2k \end{matrix}) \frac{x^{k}}{(2n)^{2k}} = ∑_{k=0}^{n} a_{k}^{(n)}x^{k} .  (3.1.1)

Donc

E_{n}(x) = f_{n}(x^{2}) .

On désigne les quantités b(j)_{i}, r_{i}, etc. qui correspondent au polynôme f_{n} en ajoutant l’indice (n) en haut : b(j)_{i}^{(n)}, r_{i}^{(n)}, etc.

Donc on aura :

c(m + 1)^{(n)} = (∏_{i=1}^{m} a_{n−i}^{(n)})^{2}×

× det ( \begin{matrix}(n − 1)β(1)_{2}^{(n)} & (n − 2)β(1)_{3}^{(n)} & … & (n − m)β(1)_{m+1}^{(n)} \\ (n − 2)β(1)_{3}^{(n)} & (n − 2)β(2)_{4}^{(n)} & … & (n − m)β(2)_{m+2}^{(n)} \\ . & . & … & . \\ (n − m)β(1)_{m+1}^{(n)} & (n − m)β(2)_{m+2}^{(n)} & … & (n − m)β(m)_{2m}^{(n)} \end{matrix} ) .

3.2. On a :

a_{i}^{(n)} = (−1)^{i} (\begin{matrix}2n \\ 2i \end{matrix}) ,

LA SUITE DE STURM  651

d’où

\begin{matrix}r_{i}^{(n)} = \frac{a_{i}^{(n)}a_{i−2}^{(n)}}{a_{i−1}^{(n)2}} = \frac{[(2i−2)!]^{2}[(2n−2i+2)!]^{2}}{(2i)!(2n−2i)!(2i−4)!(2n−2i+4)!} \\ = \frac{(2i−2)(2i−3)}{2i(2i−1)} · \frac{(2n−2i+1)(2n−2i+2)}{(2n−2i+3)(2n−2i+4)} . \end{matrix}

En remplaçant i par n − i,

r_{n−i}^{(n)} = \frac{(2i + 1)(2i + 2)}{(2i + 3)(2i + 4)} · \frac{(2n − 2i − 2)(2n − 2i − 3)}{(2n − 2i)(2n − 2i − 1)} .

On s’interesse aux valeurs limites :

r_{∞−i}^{(∞)} := lim_{n→∞} r_{n−i}^{(n)} = \frac{(2i + 1)(2i + 2)}{(2i + 3)(2i + 4)} .

Il s’ensuit :

ψ(∞ − i + 2, ∞) := lim_{n→∞} ψ(n − i + 2, n) = \frac{1 · 2}{(2i − 1)2i} ,

ψ(∞ − i + 3, ∞ − 1) = \frac{3 · 4}{(2i − 2)(2i − 3)} ,

ψ(∞ − i + 4, ∞ − 2) = \frac{5 · 6}{(2i − 4)(2i − 5)} ,

etc.

3.3. Maintenant on veut calculer

β(j)_{i}^{(∞)} := lim_{n→∞} β(j)_{i}^{(n)} .

Il est commode de poser :

B(j)_{i}^{∞} := β(j)_{i}^{(∞)} + j .

On a :

B(1)_{i}^{(∞)} = i · ψ(∞ − i + 2, ∞) = \frac{1}{2i − 1}

d’où

β(1)_{i}^{(∞)} = −\frac{2(i − 1)}{2i − 1} .

Ensuite, B(2)_{i}^{(∞)} = i · ψ(∞ − i + 2, ∞)ψ(∞ − i + 3, ∞ − 1) + (i − 2) · ψ(∞ − i + 3, ∞ − 1)

= ψ(∞−i+3, ∞−1)·\{B(1)_{i}^{(∞)}+i−2\} = \frac{3 · 4}{(2i − 2)(2i − 3)}·\{\frac{1}{2i − 1}+i−2\} = \frac{3 · 2}{2i − 1},

d’où

652  Oleg Ogievetsky et Vadim Schechtman

β(2)_{i}^{(∞)} = −\frac{4(i − 2)}{2i − 1} .

De même,

B(3)_{i}^{(∞)} = ψ(∞−i+4, ∞−2)·\{B(2)_{i}^{(∞)}+i−4\} = \frac{5 · 6}{(2i − 4)(2i − 5)}·\{\frac{3 · 2}{2i − 1}+i−4\} = \frac{5 · 3}{2i − 1},

d’où

β(3)_{i}^{(∞)} = −\frac{6(i − 3)}{2i − 1} .

3.4. En général, la récurrence évidente fournit

B(j)_{i}^{(∞)} = \frac{(2j − 1) · j}{2i − 1}

et

β(j)_{i}^{(∞)} = −\frac{2j(i − j)}{2i − 1} .

3.5. On définit les nombres

𝔠(m + 1)^{∞} := det ( \begin{matrix}β(1)_{2}^{(∞)} & β(1)_{3}^{(∞)} & … & β(1)_{m+1}^{(∞)} \\ β(1)_{3}^{(∞)} & β(2)_{4}^{(∞)} & … & β(2)_{m+2}^{(∞)} \\ . & . & … & . \\ β(1)_{m+1}^{(∞)} & β(2)_{m+2}^{(∞)} & … & β(m)_{2m}^{(∞)} \end{matrix} ) .

Donc on aura :

(∏_{i=1}^{m} a_{n−i}^{(n)})^{−2} · c(m + 1)^{(n)} = 𝔠(m + 1)^{∞} · n^{m} + O(n^{m−1}) .

Les calculs précédents fournissent par exemple :

𝔠(4)^{∞} = det ( \begin{matrix}−\frac{2}{3} & −\frac{4}{5} & −\frac{6}{7} \\ −\frac{4}{5} & −\frac{8}{7} & −\frac{12}{9} \\ −\frac{6}{7} & −\frac{12}{9} & −\frac{18}{11} \end{matrix} ) = (−1)^{3} · 2 · 4 · 6 · det ( \begin{matrix}\frac{1}{3} & \frac{2}{5} & \frac{3}{7} \\ \frac{1}{5} & \frac{2}{7} & \frac{3}{9} \\ \frac{1}{7} & \frac{2}{9} & \frac{3}{11} \end{matrix} )

= (−1)^{3} · 2^{3} · (3!)^{2} · det ( \begin{matrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{5} & \frac{1}{7} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & \frac{1}{9} \\ \frac{1}{7} & \frac{1}{9} & \frac{1}{11} \end{matrix} ) .

En général on obtient

𝔠(m + 1)^{∞} = (−1)^{m} · 2^{m} · (m!)^{2} · det ( \begin{matrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{5} & … & \frac{1}{2m+1} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & … & \frac{1}{2m+3} \\ . & . & … & . \\ \frac{1}{2m+1} & \frac{1}{2m+3} & … & \frac{1}{4m−1} \end{matrix} ) .

On remarque que la dernière matrice (une variante de la matrice de Hilbert) est du type Hankel.

3.6. Le déterminant

ℭ(m + 1) := det ( \begin{matrix}\frac{1}{3} & \frac{1}{5} & … & \frac{1}{2m+1} \\ \frac{1}{5} & \frac{1}{7} & … & \frac{1}{2m+3} \\ . & . & … & . \\ \frac{1}{2m+1} & \frac{1}{2m+3} & … & \frac{1}{4m−1} \end{matrix} )

est un cas particulier du déterminant calculé par Cauchy (d’où le caractère ℭ), cf. son Mémoire sur les fonctions alternées et sur les sommes alternées, pp. 173 - 182 dans [Cauchy].

Rappelons que, étant données deux suites x_{1}, …, x_{m} et y_{1}, …, y_{m}, le théorème de Cauchy dit que

det((x_{i} + y_{j})^{−1})_{i,j=1}^{m} = \frac{∏_{1≤i<j≤m} (x_{j} − x_{i})(y_{j} − y_{i})}{∏_{i,j=1}^{m} (x_{i} + x_{j})}

d’où, en posant x_{i} = 2i − 2, y_{i} = 2i + 1,

ℭ(m + 1) = \frac{∏_{1≤i<j≤m} (2j − 2i)^{2}}{∏_{i,j=1}^{m} (2i + 2j − 1)} .

Bibliographie

[Cauchy] Exercices d’Analyse et de Physique Mathématique, par le Baron Augustin Cauchy, Tome Deuxième, Paris, Bachelier, 1841 ; Oeuvres complètes, II-e série, tome XII, Gauthier-Villars, MCMXVI.

[Euler] L.Euler, De summis serierum reciprocarum ex potestatibus numerorum naturalium ortarum dissertatio altera in qua eaedem summationes ex fonte maxime diverso derivantur, Miscellanea Berolinensia 7, 1743, pp. 172 - 192. [Gauß] C.F.Gauß, Circa seriem infinitam 1+\frac{αβ}{1.γ} x+\frac{α(α+1)β(β+1)}{1.2.γ(γ+1)}xx+ \frac{α(α+1)(α+2)β(β+1)(β+2)}{1.2.3.γ(γ+1)(γ+2)}x^{3}+ etc. Pars Prior, Commentationes societatis regiae scientarum Gottingensis recentiores, Vol. II, Gottingae MDCCCXIII.

[Jacobi] C.G.J. Jacobi, De eliminatione variabilis e duabus aequationibus algebraitis, Crelle J. für reine und angewandte Mathematik, 15, 1836, ss. 101 - 124.

[Sturm] C.-F. Sturm, Mémoire sur la résolution des équations numériques, Mémoires présentés par divers savants à l’Académie Royale des Sciences, Sciences mathématiques et physiques, tome VI, 1835, pp. 271 - 318.